Torsion rationnelle des modules de Drinfeld

par Cécile Armana

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Loïc Merel.


  • Résumé

    Cette thèse étudie l'existence de points de torsion pour les modules de Drinfeld de rang 2 sur des extensions finies de Fq(T), pour q puissance d'un nombre premier. Notre approche suit celle de Mazur et Merel pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres : nous introduisons un quotient de la jacobienne d'une courbe modulaire de Drinfeld, défini à l'aide d'un symbole modulaire de Teitelbaum particulier, et étudions ses propriétés. Sous une hypothèse de dualité entre algèbre de Hecke et formes modulaires pour Fq[T], ainsi qu'une hypothèse technique mineure, on montre le résultat suivant : s'il existe un module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus q de Fq(T), muni d'un point de torsion d'ordre un idéal premier n de Fq[T], alors le degré de n est au plus max(q,4). Nous utilisons pour cela une description de l'action de l'algèbre de Hecke sur les symboles modulaires de Teitelbaum et sur les formes modulaires pour Fq[T]. Lorsque le degré de n est petit, on obtient des résultats non conditionnels : il n'existe aucun module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus 2 (resp. Au plus 3) de Fq(T) possédant un point de torsion d'ordre un idéal premier de degré 3 (resp. De degré 4 si q est au moins 7). Cela confirme partiellement une conjecture de Poonen et Schweizer de borne uniforme sur la torsion des modules de Drinfeld.

  • Titre traduit

    Rational torsion of drinfeld modules


  • Résumé

    This thesis studies the existence of torsion points of rank 2 Drinfeld modules over finite extensions of Fq(T) (q a prime power). Following the approach of Mazur and Merel for the torsion of elliptic curves over number fields, we introduce and study a quotient of the Jacobian of a Drinfeld modular curve, defined by a special Teitelbaum modular symbol. Under a hypothesis of duality between Hecke algebra and modular forms for Fq[T], and a minor technical hypothesis, we show the following result: if there exists a rank 2 Drinfeld module over an extension of degree at most q of Fq(T), with a torsion point of order a prime ideal n of Fq[T], then the degree of n is at most max(q, 4). For this purpose, we use a description of the action of the Hecke algebra on Teitelbaum modular symbols and on modular forms for Fq[T]. When n has small degree, we obtain unconditional results: there exists no rank 2 Drinfeld module over an extension of degree at most 2 (resp. At most 3) of Fq(T) with a torsion point of order a prime ideal of degree 3 (resp. 4 if q is at least 7). These statements partially confirm a conjecture of Poonen and Schweizer, about a uniform bound for the torsion of Drinfeld modules

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Informations

  • Détails : 1 vol. (135 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : 87 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2008) 185
  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : THESE 06915
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