Structures C-minimales géométriques et trichotomie de Zilber

par Farès Maalouf

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Françoise Delon.

Soutenue en 2008

à Paris 7 .


  • Résumé

    L'objet de cette thèse est l'étude de certains aspects des structures géométriques C-minimales, i. E. Les structures généralisant les structures ultramétriques, dans lesquelles la clôture algébrique perme de définir une notion de dimension et dans lesquelles tout ensemble définissable en dimension 1 a une « forme simple ». L'idée principale derrière les chapitres 1-3 de cette thèse est d'essayer de construire des structures algébriques(groupes ou corps infinis) dans de telles structures en partant d'hypothèses modèle théoriques. Cette problématique a été introduite par Zilber à propos des structures fortement minimales, et des résultats de trichotomie de Zilber ont déjà été trouvés pour les géométries de Zariski et les structures o-minimales entre autres. Dans le premier chapitre, on classifie à équivalence élémentaire près tous les espaces vectoriels C-minimaux, qui sont les exemples standard de structures C-minimales dites localement modulaires. Dans le chapitre deux, on démontre qu'on peut construire un groupe type-définissable infini dans toute structure géométrique C-minimale localement modulaire non triviale et S\aleph_1S-saturée. . Dans le chapitre trois, on montre que pour tout corps value algébriquement clos (une structure C-minimale géométrique typique), dans toute expansion algébrique non modulaire de la structure d'espace vectoriel value on peut définir la multiplication sur un ouvert. Le dernier chapitre étudie les imaginaires dans les espaces vectoriels C-minimaux. On trouve des codes pour un certain type fonctions, mais l'objectif final, qui est l'élimination faible des imaginaires aux sortes des clusters, n'est pas atteint.

  • Titre traduit

    Geometric C-minimal structures and Zilber's trichotomy


  • Résumé

    The main object of this thesis is the study of certain aspects of geometric C-minimal structures, i. E. Structures generalizing ultrametric structures, in which algebraic closure defines a notion of dimension on definable sets, and in which, uniformly in parameters, every definable subset of 1-space has a « simple form ». The main idea behind chapters 1-3 of this thesis is trying to construct algebraic structures (such as infinite groups and fields) in such structures which verify moreover some model theoretic assumptions. This kind of problems has already been suggested by Zilber for strongly minimal structures, and many results of Zilber's trichotomy are proved notably for Zariski geometries and o-minimal structures. In the first chapter, we classify up to elementarly equivalence, ail C-minimal vector spaces, which are the typical examples of the so called C-minimal locally modular structures. In the second chapter, we show how to construct an infinite type-definable group in any geometric non trivial locally modular C-minimal structure which is S\aleph_1S-saturated. In the third chapter, we show that for any algebraically closed valued field (a typical example of a geometric C-minimal structure), we can define multiplication on an open set in any non modular algebraic expansion of the vector space structure. Chapter four studies imaginaries in C-minimal vector spaces. We show how to find codes for some definable functions, without succeeding in the reach the final objective, which is weak elimination of imaginaries to the sort of clusters.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (80 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : 19 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2008) 174
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