[Stochastic control and applications to option hedging with illiquidity : theoritical and numerical aspects]

par Benjamin Bruder

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Huyên Pham.

Soutenue en 2008

à Paris 7 .

  • Titre traduit

    Contrôle stochastique et applications à la couverture d'options en présence d'illiquidité : aspects théoriques et numériques


  • Résumé

    Nous étudions quelques applications du contrôle stochastique à la couverture d'options en présence d'illiquidité. Dans la première partie, nous nous intéressons à un problème de surcouverture d'option dans un modèle à volatilité stochastique. L'originalité provient du fait que l'actif servant à couvrir la volatilité n'est pas liquide et que l'agent devra donc opérer un montant total fini de transactions. La deuxième partie concerne la couverture d'option en présence de volatilité incertaine dont la dynamique n'est pas spécifiée. Nous introduisons un critère permettant d'obtenir des prix d'options non triviaux, en autorisant l'agent à perdre de l'argent pour des réalisations de la volatilité qu'il juge peu probables. Enfin dans une troisième partie nous étudions un problème de contrôle impulsionnel pour lequel les contrôles prennent effet avec retard. Cette étude s'applique notamment à la couverture d'options sur hedge funds, pour lesquels les ordres d'achat et de vente sont exécutés avec retard. Dans chaque partie, nous caractérisons la fonction valeur du problème comme étant l'unique solution de viscosité d'une équation aux dérivées partielles. Dans la première et la troisième partie, nous introduisons dans un second chapitre des algorithmes de résolution numériques de ces EDP par différences finies. La convergence de ces algorithmes est prouvée de manière théorique.


  • Résumé

    We study some applications of stochastic control to option hedge with illiquidity. In the first part, we focus on a superreplication problem in a stochastic volatility model. The specificity comes from the fact that the asset which is used to hedge volatility is illiquid, thus only a finite total amount of transactions can be operated during the hedging. The second part is about option hedging in presence of uncertain volatility, which dynamics are unspecified. We introduce a criterion to obtain non trivial prices, by allowing the agent to lose money for improbable volatility scenarios. At last, in the third part, we study an impulse control problem in which the actions take effect with delay. This can be applied for hedging options on hedge funds. Indeed, buying and selling orders on these funds are executed with delay. In each part, we characterize the value function of the problem as the unique viscosity solution of a partial differentiel equation. In the first and third parts, we also introduce, in a second chapter, numerical algorithms to solve those PDE with finite differences methods. Convergence of these algorithms is proved in a theoretical framework.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (177 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : 66 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2008) 006
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