Classification à conjugaison près des séries de p-torsion

par Sandrine Jean

Thèse de doctorat en Mathématiques et ses applications

Sous la direction de François Laubie et de Alain Salinier.

Soutenue en 2008

à Limoges , en partenariat avec Université de Limoges. Faculté des sciences et techniques (autre partenaire) .


  • Résumé

    Selon la version de Green-Matignon de la conjecture de F. Oort, toute série d'ordre pn peut être relevée en une série de même ordre dont les coefficients sont entiers sur une extension convenable de Qp. Il est donc nécessaire de relever une série de chaque classe de conjugaison pour pouvoir relever l'ensemble des séries formelles d'ordre pn. C'est pourquoi, nous avons étudier dans ce travail les classes de conjugaison des séries d'ordre pn à coefficients dans la clôture algébrique Fpalg de Fp. Le premier chapitre est consacré aux rappels concernant les corps locaux et en particulier sur les corps locaux de caractéristique p. Dans le deuxième chapitre, nous donnons une démonstration au théorème de B. Klopsch qui donne les classes de conjugaison des séries d'ordre p dans le cas où le corps résiduel est parfait. Le troisième chapitre est dédié aux vecteurs de Witt et donne une réduction possible de ses vecteurs. Puis, dans le quatrième chapitre, nous utilisons les vecteurs de Witt de longueur n qui, grâce à la théorie d'Artin-Schreier-Witt déterminent les extensions de corps de degré pn. Dans le cinquième chapitre, nous utilisons l'équivalence entre endomorphismes et séries pour construire la première bijection établie entre un ensemble An de vecteurs de Witt et une caractérisation des extensions de degré pn de K. La seconde bijection permet, grâce à une certaine action de groupe, d'établir une correspondance entre les classes de conjugaison d'ordre pn et les orbites de An sous cette action. C'est ce que nous établissons dans le chapitre six. Pour finir, dans le dernier chapitre, nous donnons deux calculs, l'un utilisant la théorie de Lubin-Tate et l'autre la théorie d'Artin-Schreier-Witt, permettant d'obtenir une écriture explicite de séries d'ordre 4 pour la conjugaison.

  • Titre traduit

    Classification up to conjugacy of series of p-torsion


  • Résumé

    According to Green-Matignon's version of the conjecture of F. Oort, any series of order pn can be lifted up by a série of the same order which coefficients are integer in a certain extension of Qp. So it is necessary to lift a series of every conjugacy class to lift all formal power series of order pn. That is why, we have studied, in this report, conjugacy classes of formal power series of order pn with coefficients in the algebraic closure Fpalg de Fp. The first chapter is dedicated to recalls on locals fields and especially local fields of characteristc p. In the second chapter, we give a second proof of the theorem of B. Klopsch which states the conjugacy classes of series of order p when the residue field is perfect. The third chapter is dedicated to Witt vectors and gives a reduction of these vectors. Then, in the fourth chapter, we use Witt vectors of length n which, thanks to Artin-Schreier-Witt theory, determined any extensions of degree pn. In the fifth chapter, we use the equivalence between endomorphisms and formal power series to construct the first bijection which states a link between a set An of Witt vectors and a certain characterization of extension of degree pn of K. The second bijection permits, thanks to a certain action of group to get a correspondence between conjugacy classes of order pn and the orbits of An under this action. This is this bijection we will build in the sixth chapter. Finally, in the last chapter, we give two calculations, the first one using the Lubin-Tate theory and the second one Artin-Schreier-Witt theory, to get an explicit writting of series of order 4 for he conjugation law.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (108 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 107-108

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  • Bibliothèque : Université de Limoges (Section Sciences et Techniques). Service Commun de la documentation.
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