Extension de torseurs

par Marco Antei

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Michel Emsalem.

Soutenue le 29-05-2008

à Lille 1 .


  • Résumé

    La question à laquelle la thèse tente de répondre est la suivante: étant donné un schéma relatif X sur un anneau de valuation discrète R et un G'-torseur y' au dessus de la fibre générique X' de X, existe-t-il un R-schéma en groupes G et un G-torseur Y au dessus de X qui étende le torseur de départ ? On aborde cette question sous l'angle du schéma en groupes fondamental introduit par Nori pour un schéma propre et réduit sur un corps k et généralisé par Gasbarri au cas d'un schéma réduit et irréductible fidèlement plat sur un schéma de Dedekind. On montre que le morphisme naturel f du schéma en groupes fondamental de X' dans la fibre générique du schéma en groupe fondamental de X est toujours surjectif pour la topologie fpqc et que tout torseur peut être étendu ssi f est un isomorphisme. Les deux premiers chapitres de la thèse sont consacrés à l'introduction des outils nécessaires pour accomplir ce programme. En particulier la définition tannakienne du schéma en groupes fondamental et du torseur universel de Nori est revisitée. Dans le troisième chapitre, la preuve des résultats mentionnés ci-dessus est donnée. Le quatrième chapitre est quant à lui consacré à une question connexe : étant donné un morphisme f entre deux schémas Y et X sur un corps k t.q. l'image directe F du faisceau structural de Y est essentiellement fini, est-il possible de définir une clôture galoisienne? On montre que le torseur universel associé à la sous-catégorie tannakienne de la catégorie des fibrés essentiellement finis engendrée par F joue le rôle de clôture galoisienne.

  • Titre traduit

    Extension of torsors


  • Résumé

    The question we try to answer in this thesis is the following: let X be a relative scheme over a discrete valuation ring R and y' a G'-torsor over the generic fibre X' of X. Does it exist an R-group scheme G and a G-torsor Y over X whose generic fibre is isomorphic to the given torsor? We face this problem by means of the fundamental group scheme introduced by Nori for a reduced scheme X complete over a field and then generalized by Gasbarri for an irreducible and reduced scheme faithfully flat over a Dedekind scheme. We prove that the natural morphism f between the fundamental group scheme of X' and the generic fibre of the fundamental group scheme of X is always surjective for the fpqc topology. Moreover we prove that any torsor can be extended iff f is an isomorphism. The firstt two chapters of the thesis are devoted to an introduction of the objects used in the last two chapters. ln particular the tannakian definition of the fundamental group scheme and of the universal torsor of Nori are revisited. ln the third chapter a proof of the results mentioned before is given. The fourth chapter is devoted to a related question: let f be a morphism between two schemes Y and X over a field k.s.t. the direct image F of the structural sheaf of Y is essentially finite, is it possible to defme a Galois cIosure? We prove that the universal torsor associated to the sub-category of the category of essentially finite vector bundles generated by F is the desired Galois closure.


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Informations

  • Détails : 1 vol. (ix-100 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 98-100. 35 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université des sciences et technologies de Lille (Villeneuve d'Ascq, Nord). Service commun de la documentation.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 50376-2008-169
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