Transport optimal et analyse géométrique dans les groupes de Heisenberg

par Nicolas Juillet

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Hervé Pajot et de Karl-Theodor Sturm.

Soutenue en 2008

à l'Université Joseph Fourier (Grenoble) en cotutelle avec Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn (Allemagne) .


  • Résumé

    In this thesis we consider the Heisenberg group H_n=\R^{2n+1} with its Carnot-Carathéodory distance d_c and the Lebesgue measure\L^{2n+1}. In Chapter 1, in relation with the geometric traveling salesman problem in H_1, we construct a curve of finite length that does not satisfy the criterion of Ferrari, Franchi and Pajot about sets contained in the range of a rectifiable curve. We also prove a sharp Jacobian estimate of that maps that contract sets to a point going along geodesics. This is essentially equivalent to the Measure Contraction Property MCP(0,2n+3). With this estimate we answer positively a question by Ambrosio and Rigot about optimal transport in H_n (common work with Figalli). Indeed, in Chapter 2 we prove the absolute continuity of the measure of H_n on a Wasserstein geodesics starting from an absolutely continuous measure. In Chapter 3, we prove that the Curvature-Dimension CD(K,N) condition defined by optimal transport does not hold for any K\in\R and N\in[1,+\infty]. We also discuss other metric curvature properties in the case of H_n. Finally Chapter 4 is devoted to the concordance of the subelliptic "heat'' equation and the Wasserstein gradient flow of the Bolzmann entropy.


  • Résumé

    On considère le groupe de Heisenberg H_n=R^{2n+1} avec la distance de Carnot-Carathéodory d_c et la mesure de Lebegue L^{2n+1}. Dans le premier chapitre, dans le cadre du problème du voyageur de commerce géométrique de H_1, on construit une courbe de longueur finie qui ne vérifie pas le critère de Ferrari, Franchi et Pajot au sujet des ensembles contenus dans une courbe rectifiable. On montre aussi une inégalité sur le déterminant jacobien des applications de contraction sur un point qui suivent les géodésiques. Cette inégalité est essentiellement équivalente à la Propriété de Contraction de Mesure MCP(0,2n+3). Grâce à cette proprété on répond positivement au Chapitre 2 à une question d'Ambrosio et Rigot à propos du transport de mesure dans H_n (travail en commun avec Figalli). Il s'avère en effet que les mesures traversées par une géodésique de l'espace de Wasserstein sont absolument continues dès qu'une extrémité de la géodésique l'est. Au Chapitre 3 on démontre que la Courbure-Dimension CD(K,N) définie par transport de mesure n'est pas vérifiée pour H_n et que cela vaut quels que soient les paramètres K\in\R et N\in[1,+\infty]. On discute aussi d'autres propri\'et\'es de courbures dans le cas du groupe de Heisenberg. Le Chapitre 4 est dédié à la correspondance entre l'équation de la chaleur sous-elliptique et le flot de gradient de l'entropie de Bolzmann dans l'espace de Wassertein.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (198 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. 112 réf.

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  • Bibliothèque : Service interétablissements de Documentation (Saint-Martin d'Hères, Isère). Bibliothèque universitaire de Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TS08/GRE1/0280/D
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  • Cote : TS08/GRE1/0280
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