Matrices bistochastiques paires et impaires

par Simon Rénier

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Joachim Von Below.

Soutenue en 2008

à Littoral .

  • Titre traduit

    Even and odd doubly stochastic matrices


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    La première partie est consacrée à la parité dans l’ensemble des matrices bistochastiques de taille n : Ωn. Le nombre minimal d’éléments strictement positifs d’une matrice de Ωn garantissant la présence d’une diagonale paire est caractérisé : e n =(n²+6n)/4 + (1+(-1) n+1 )/8. Le minimum de diagonales paires contenues par une matrice de taille n à p ≤ e n éléments positifs donnés est aussi caractérisé. La seconde partie est dédiée à une caractérisation variationnelle. L’optique est de recenser les diagonales paires π 1 ,…, π s contenues par une matrice A de Ωn et d’analyser la fontion f(x1 ,…, xs)= || A - ∑ i xi πi || ² qui s’annulera si et seulement si A est paire. Cette constatation offre un algorithme permettant de décomposer une matrice dans l’ensemble des matrices paires, et offre une réponse au problème de Mirsky. Une troisième partie est consacrée au lien entre les matrices bistochastiques et du laplacien continu sur les graphes. En effet, le spectre de celui-ci est lié au spectre de la matrice d’adjacence du graphe par l’équation Zφ= cos √λ φ. Il y est recensé les différentes parités trouvées pour tous les graphes réguliers de 3 à 8 sommets. Les programmes informatiques (en annexe) permettent de trouver les décompositions dans les polyèdres formés des matrices paires et impaires. La dernière partie est dédiée à une caractérisation réciproque des matrices bistochastiques infinies localement à l’aide d’une notion de limite particulière. Cette caractérisation permet de définir la notion de matrices bistochastiques infinies localement finies paires, dont le polyèdre n’est plus stable par multiplication matricielle.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (144 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 139

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  • Bibliothèque : Université du Littoral-Côte d'Opale (Calais, Pas-de-Calais). Bibliothèque. Section Sciences.
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