Analyse asymptotique de schémas de résolution de l'équation du transport en régime diffusif

Asymptotic analysis of numerical schemes for the transport equation in diffusive regime

• Auteur / Autrice : Gérald Samba
• Direction : Laurent Desvillettes
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Cachan, Ecole normale supérieure

Mots clés

Mots clés contrôlés

Méthode de Monte Carlo

Monte-Carlo, Méthode de

Éléments finis, Méthode des

Théorie du transport

Résumé

La méthode Symbolique Implicite Monte Carlo permet d'obtenir une approximation de la solution de l'équation du transport. Dans la méthode originelle, les fonctions d'approximation étaient choisies constantes par morceaux. On démontre qu'en prenant des fonctions linéaires par morceaux, cette méthode possède alors la limite diffusion, c'est à dire qu'en milieu diffusif, elle approche la solution de l'équation de diffusion même lorsque la taille des mailles est grande vis à vis du libre parcours, à condition que celle ci reste suffisante pour résoudre l'échelle de la diffusion. On montre que les conditions aux limites en milieu diffusif approchent, sous certaines hypothèses, les conditions aux limites exactes, ce qui autorise un traitement précis des couches limites sans devoir les mailler finement. On présente des tests numériques étayant cette analyse. On étudie également des schémas aux éléments finis linéaires discontinus et on explique pourquoi ces schémas possèdent la même limite diffusion ainsi que les mêmes conditions aux limites en milieu diffusif que la méthode Symbolique Implicite Monte Carlo.

The Symbolic Implicit Monte Carlo method (SIMC) gives an approximation of the transport equation. In the original method, this function was supposed constant on each cell of the mesh. We have demonstrated that by taking piecewise linear function, this method becomes asymptotically preserving unlike the constant SIMC method. It means that in a diffusive medium where the collisions are predominant, it gives a correct solution even if the mesh size is large in regard of the mean free path but small enough to solve the diffusion scale. Boundary layers arise in diffusive medium when the incident intensity is anisotropic. We demonstrate and verify numerically that the results of the linear SIMC method can be quite good even if the boundary layers are not meshed at the mean free path scale. We study also linear discontinuous finite elements schemes and demonstrate that these schemes verify the saure asymptotic limit and possess the saure boundary conditions in diffusive medium as the SIMC method.