# Analyse numérique des méthodes quasi-Monte Carlo appliquées aux modèles d'agglomération

## par Ali Tarhini

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Christian Lécot et de Ali Mneimne.

Soutenue en 2008

• ## Résumé

Monte Carlo (MC) methods are probabilistic methods based on the use of random numbers in repeated experiments. Quasi-Monte Carlo (QMC) methods are deterministic versions of Monte Carlo methods. Random sequences are replaced by low discrepancy sequences. These sequences ha ve a better uniform repartition in the s-dimensional unit cube. We use a special class of low discrepany sequences called (t,s)-sequences. In this work, we develop and analyze Monte Carlo and quasi-Monte Carlo particle methods for agglomeration phenomena. We are interested, in particular, in the numerical simulation of the discrete coagulation equations (the Smoluchowski equation), the continuous coagulation equation, the continuous coagulation-fragmentation equation and the general dynamics equation (GDE) for aerosols. In all these particle methods, we write the equation verified by the mass distribution density and we approach this density by a sum of n Dirac measures ; these measures are weighted when simulating the GDE equation. We use an explicit Euler disretiza tion scheme in time. For the simulation of coagulation and coagulation-fragmentation, the numerical particles evolves by using random numbers (for MC simulations) or by quasi-Monte Carlo quadratures. To insure the convergence of the numerical scheme, we reorder the numerical particles by their increasing mass at each time step. In the case of the GDE equation, we use a fractional step iteration scheme : coagulation is simulated as previously, other phenomena (like condensation, evaporation and deposition) are integrated by using a deterministic particle method for solving hyperbolic partial differential equation. We prove the convergence of the QMC numerical scheme in the case of the coagulation equation and the coagulation-fragmentation equation, when the number n of numerical particles goes to infinity. All our numerical tests show that the numerical solutions calculated by QMC algorithms converges to the exact solutions and gives better results than those obtained by the corresponding Monte Carlo strategies.

Numerical analysis of quasi-Monte Carlo methods applied to agglomeration models

• ## Résumé

Les méthodes de Monte Carlo (MC) sont des méthodes statistiques basées sur l'utilisation répétée de nombres aléatoires. Les méthodes quasi-Monte Carlo (QMC) sont des versions déterministes des méthodes de Monte Carlo. Les suites aléatoires sont remplacées par des suites à discrépance faible, qui ont une meilleure répartition uniforme dans le cube unite s- dimensionnel. Nous utilisons une classe particulière de suites à discrépance faible : les suites-(t,s). Dans ce travail, nous developpons et analysons des méthodes particulaires Monte Carlo et quasi-Monte Carlo pour les phénomènes d'agglomeration. Nous nous intéressons en particulier à la simulation numérique de l'équation de coagulation discrète (équation de Smoluchowski), de l'équation de coagulation continue, de l'équation de coagulation- fragmentation continue et de l'équation générale de la dynamique (EGD) des aérosols. Pour toutes ces méthodes particulaires, on écrit l'équation vérifiée par la distribution de masse et on approche celle-ci par une somme de n mesures de Dirac ; les mesures sont pondérées dans le cas de la simulation de l'EGD. Le schema en temps est un schema d'Euler explicite. Pour la simulation de la coagulation et de la fragmentation, l'évolution des masses des particules est déterminée par des tirages de nombres aléatoires (méthode MC) ou par des quadratures quasi-Monte Carlo (méthode QMC). Pour assurer la convergence de la méthode QMC, on ordonne les particules par taille croissante à chaque pas de temps. Dans le cas de la résolution de l'EGD, on utilise une méthode à pas fractionnaire : la simulation de la coagulation se fait comme précédemment, les autres phénomènes (condensation. évaporation, déposition) sont pris en compte par une méthode particulaire déterministe de résolution d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique. Nous démontrons la convergence du schema particulaire QMC de résolution numérique de l'équation de coagulation et de coagulation-fragmentation, quand le nombre n des particules tend vers l'infini. Tous les essais numériques montrent que les solutions calculées par les nouveaux algorithmes QMC convergent vers les solutions exactes et fournissent de meilleurs résultats que ceux obtenus par les méthodes de Monte Carlo correspondantes.

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Informations

• Détails : 1 vol. (VIII-160 p.)
• Annexes : Bibliogr. p. 145-154

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