Étude sur la récurrence de certains systèmes dynamiques topologiques et arithmétiques

par Lingmin Liao

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Ai-Hua Fan.

Soutenue en 2008

à Amiens .


  • Résumé

    In this thesis, we study some aspects of recurrence in three classes of dynamical systems: padic polynomial dynamical systems, systems satisfying the specification property and Gauss dynamics associated to continued fractions. In the first part, we begin with the study of polynomials with coefficients in Zp with order larger than 2 as dynamical systems on Zp. We prove that for such a system, Zp is decomposed into minimal components and their attracting basins. For any quadratic polynomial on Z2, we exhibit all its minimal components. We then study transitive locally expanding polynomials. We prove that such a polynomial, restricted to its Julia subset, is conjugate to a subshift of finite type. In the second part, we prove that for a dynamical system with specification property, the topological entropy of the set of generic points of any invariant measure is equal to the entropy of the measure. Consequently, we obtain a variational principle for the topological entropy spectrum of Banach valued Birkhoff ergodic averages. The last part is devoted to continued fractions. By applying the Ruelle operator theory, we obtain the multifractal spectra of the Khintchine exponent and Lyapunov exponent, which are neither concave nor convex. Our result on Lyapunov spectrum completes that of Pollicott and Weiss. We have also well studied the extremely non-normal continued fractions and the frequency of partial quotients. Our work on the frequency completes that of Billingsley and Henningsen.

  • Titre traduit

    Studies on the recurrence of some topological and arithmetic dynamical systems


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l’ étude de quelques aspects de la récurrence de trois classes de systèmes dynamiques : systèmes dynamiques p-adiques polynomiaux, systèmes topologiques ayant la propriété de spécification et système de Gauss associé aux fractions continues. Dans une première partie, on étudie d’abord les polynômes à coefficients dans Zp d’ordre supérieur à 2, comme des systèmes dynamiques sur Zp. Nous prouvons que pour un tel système, Zp est composé des composants minimaux et de leurs bassins d’attraction. Pour tout polynôme quadratique sur Z2, nous exhibons tous ses composants minimaux. On étudie également les polyno��mes localement dilatants et transitifs. Nous montrons que la restriction d’un tel polynôme sur son ensemble de Julia est conjugué à un sous-shift de type fini. Dans une deuxième partie, nous prouvons que pour un système dynamique compact ayant la propriété de spécification, l’entropie topologique de l’ensemble des points génériques d’une mesure invariante est égale à l’entropie de la mesure. En corollaire, nous établissons un principe variationnel pour le spectre d’entropie topologique des moyennes de Birkhoff à valeurs dans un espace de Banach. La dernière partie est consacrée à l’ étude des fractions continues. Nous trouvons en s’appuyant sur la théorie de l’opérateur de Ruelle, les spectres multifractals complets de l’exposant de Khintchine et de l’exposant de Lyapunov, qui ne sont ni concaves ni convexes. Notre résultat sur le spectre de Lyapunov complète celui de Pollicott et Weiss. Nous avons aussi bien étudié les fractions continues extrêmement non-normales et la fréquence des quotients partiels. Notre travail sur la fréquence complète celui de Billingsley et Henningsen.

Autre version

Cette thèse a donné lieu à une publication en 2009 par [CCSD] [diffusion/distribution] à Villeurbanne

Étude sur la récurrence de certains systèmes dynamiques topologiques et arithmétiques

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La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (198 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 189-198

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  • Bibliothèque : Université de Picardie Jules Verne. Bibliothèque universitaire. Section Sciences.
  • Consultable sur place dans l'établissement demandeur
  • Cote : T 51 2008-3
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