Caractérisations de l’aléatoire par les jeux : imprédictibilité et stochasticité

par Laurent Bienvenu

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Alexander Shen.

Soutenue en 2008

à Aix-Marseille 1 , en partenariat avec Université de Provence. Section sciences (autre partenaire) .


  • Résumé

    Cette thèse est une contribution à l'étude des différentes notions effectives d'aléatoire pour les objets individuels (essentiellement les suites binaires finies ou infinies). Dans le premier chapitre nous considérons les approches de l'aléatoire par la théorie des jeux (martingales et stratégies) que nous comparons à l'approche historique par les fréquences qui remonte au début du 20ème siècle avec les travaux de von Mises. Le résultat principal de ce chapitre est une relation explicite entre la vitesse de gain d'une martingale (ou stratégie) sur une suite binaire et le biais des sous-suites extraites. Le second chapitre porte sur les liens existant entre les différentes définitions d'aléatoire pour les suites binaires infinies et la notion de complexité de Kolmogorov, définie comme étant la taille du plus court programme qui génère un objet donné. De nombreux résultats sont déjà connus dans ce domaine. Nous présentons une approche nouvelle, en utilisant non pas la complexité de Kolmogorov elle-même, mais ses bornes supérieures calculables. Cette approche est unificatrice, en ce sens qu'elle permet de caractériser précisément une grande variété de notions d'aléatoire, dont certaines pour qui la complexité de Kolmogorov échoue. Le troisième et dernier chapitre étudie l'extension des notions électives d'aléatoire à des mesures de probabilité calculables quelconques, et plus particulièrement les relations d'équivalence qu'elles induisent sur ces mesures (ou deux mesures sont équivalentes si elles ont les mêmes éléments aléatoires). Une preuve constructive (par les martingales) du théorème de Kakutani (qui caractérise l'équivalence entre les mesures de Bernoulli généralisées) y est notamment obtenue. Enfin, nous discutons en toute généralité (c'est-à-dire pour des mesures quelconques) les relations d'équivalence induites, dont nous donnons une classification complète.

  • Titre traduit

    Game-theoretic characterizations of randomness : unpredictability and stochasticity


  • Résumé

    This thesis is a contribution to the study of the different notions of effective randomness for individual objects (mainly binary sequences, finite or infinite). In the first chapter, we consider various game-theoretic approaches to randomness (via martingales and strategies), and we compare them to the historical approach by frequency stability, which goes back to the work of von Mises in the beginning of the 20th century. The principal result of the first chapter is an explicit relation between the “speed of success" of a martingale (or strategy) on a sequence and the bias of the selected subsequences. The second chapter focuses on the links between the various randomness notions for infinite sequences and the notion of Kolmogorov complexity (or program-size complexity), defined to be the size of the shortest program which outputs a given finite object. Many results are already known in this direction. We present a new approach, using computable upper bounds of Kolmogorov complexity instead of Kolmogorov complexity itself. This turns out to be a very unifying approach, in the sense that it allows us to characterize a wide variety of randomness notions, even some for which Kolmogorov complexity fails. The third and last chapter studies the extension of all randomness notions to wider classes of probability measures, and more specifically the equivalence relations induced by the randomness notions (where we say that two measures are equivalent if they have the same random sequences). A constructive proof of Kakutani's theorem (a criterion of equivalence for generalized Bernoulli measures) is presented. Finally, in great generality (i. E. For arbitrary computable measures), we give a complete hierarchical classification of the induced equivalence relations.

Autre version

Cette thèse a donné lieu à une publication en 2009 par [CCSD] [diffusion/distribution] à Villeurbanne

Caractérisations de l’aléatoire par les jeux : imprédictibilité et stochasticité

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Informations

  • Détails : 1 vol. (XX-130 p.)
  • Annexes : Bibliographie p. 123-127. Index

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