Méthodes variationnelles pour la modélisation des problèmes de transmission d’onde électromagnétique entre diélectrique et méta-matériau

• Auteur / Autrice : Carlo-Maria Zwölf
• Direction : Anne-Sophie Bonnet-Bendhia, Patrick Ciarlet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques de la Modélisation
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Versailles-St Quentin en Yvelines
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Appliquées (Palaiseau)
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cherif Amrouche

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations de Maxwell

Calcul des variations

Ondes électromagnétiques

Diélectriques

Résumé

Au cours de ce travail on s'intéresse à la résolution des problèmes de transmission d'onde électromagnétiques en régime harmonique entre deux milieux caractérisés par des constantes électriques et/ou magnétiques de signe opposé. Des paramètres électromagnétiques de signe négatif interviennent dans les modèles physiques décrivant les méta-matériaux, les supra-conducteur ou les plasmas au voisinage de la résonance plasmon. Mathématiquement la difficulté est liée aux pertes de coercivité et/ou de compacité dues aux sauts de signe à l'interface séparant les deux milieux. La première partie du présent mémoire est consacrée à l'étude d'un problème scalaire modèle auquel le système de Maxwell peut être ramené dans le cas statique ou dans le cas bidimensionnel. Pour ce problème modèle le changement de signe se traduit par une perte d'ellipticité. Pour contourner cette difficulté on développe trois différentes approches variationnelles et, pour chacune de ces méthodes, on fournit les conditions qui en assurent le caractère bien posé au sens de Fredholm. Après une validation numérique, les formulations variationnelles développées seront utilisées pour calculer les fréquences propres d'une cavité résonante constituée de diélectriques et méta-matériaux. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'étude du problème de Maxwell tridimensionnel. On s'intéresse sans perte de généralité à la formulation en champ électrique. On démontre que, sous certaines conditions convenables, l'espace fonctionnel auquel appartient naturellement le champ électrique s'injecte de façon compacte dans L2 (Ω), même en présence d'une constante électrique présentant un changement de signe. Pour contourner la difficulté liée au changement de signe de la constante magnétique on étendra au problème de Maxwell une des approches variationnelles développées pour le problème modèle.

The focus of this PhD-thesis has been on the electromagnetic harmonic wave transmission problem between media with opposite sign dielectric and/or magnetic constants. Physical models describing meta-materials, supraconductors or plasmas at the plasmon resonance lead to negative effective electromagnetic parameters. Mathematically however difficulties arise from the lack of ellipticity and/or compactness due to the sign shifts at the interface between the two media. In the static case or in two dimensional configurations, the Maxwell system reduces to a scalar model problem. Due to the sign shift at the interface, it is not possible to prove in a straightforward manner that this model problem is elliptic. Three variational approaches ave been developed in order to fit the scalar model into a Fredholm well-posed framework. After numerical validations of these methods, we used the variational formulations for the computation of the eigen-frequencies in a resonant cavity. This was designed by coupling dielectrics with metamaterials. Then, we focus on the three-dimensional Maxwell problem. With no loss of generality we consider the electric formulation. We prove a compactness embedding result for the space of the electric field which is valid, under some suitable conditions, in case of a sign-shifting electric constant. Finally, we have overcome the difficulty of a sign-shifting magnetic constant by generalizing one of the approaches developed for the model problem.