Interpolation de points par des splines L1 régulières

par Philippe Auquiert

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Gudrun Albrecht et de Olivier Gibaru.

Soutenue en 2007

à Valenciennes .


  • Résumé

    En 2000, Lavery sur des exemples a remarqué que les splines cubiques L1 interpolantes C1 semblent avoir une aptitude particulière à préserver la forme des données lors de changements brusques d’ordonnées et d’espaces entre les points. Ses méthodes et ses résultats sont le point de départ de cette thèse. Dans un premier temps, nous démontrons que, dans le cas d’une fonction de type Heaviside f, pour au moins trois points appartenant à f situés avant la discontinuité et au moins trois points après, il existe une unique spline cubique L1 interpolante C1. Celle-ci coïncide avec la fonction f sauf sur l’intervalle contenant la discontinuité, où elle admet pour tangentes à ses extrémités les deux demi-droites du graphe de f. Nous en déduisons, l’absence de phénomène de Gibbs pour la spline, la convergence de la spline vers f en norme p en O(h1/p) et la convergence uniforme de la spline vers f en dehors de tout intervalle non vide centré au point de discontinuité de f. Dans un deuxième temps, nous définissons les splines polynomiales Lp interpolantes paramétriques et en donnons quelques propriétés. Nous considérons en particulier le cas p=1 des cubiques C1, des cubiques G1 et des quintiques C2. Les solutions sont obtenues en utilisant l’algorithme Primal Affine. La norme L1 ne permet pas d’obtenir l’invariance de la solution par rotation des points. Pour y remédier, nous proposons une méthode de mise à plat du problème, en appliquant un changement de repère local sur chaque segment. Ainsi nous obtenons l’invariance par rotation et un paramètre de forme pour cette norme

  • Titre traduit

    Point interpolation by regular L1 splines


  • Résumé

    In 2000, on computational experiments, Lavery noticed that L1 cubic interpolating C1 splines have the property of well preserving the shape of data with abrupt changes in magnitude and spacing. His methods and his results constitute the basis of the present thesis. In the first part of the thesis, we show that in the case of a Heaviside function, if we take at least three points to the left of the discontinuity and at least three points to the right of the discontinuity, then there is a unique L1 cubic interpolating C1 spline which entirely coincides with the Heaviside function except in the interval containing the discontinuity. At the extremities of this interval, the tangents of the spline are the straight lines of the graph of the Heaviside function. We notice three consequences : there is no Gibbs’ phenomenon for the L1 cubic interpolating C1 spline, in the Lp-norm the spline converges at rate O(h1/p) to the Heaviside function, and for any fixed >0, the spline converges uniformly to the Heaviside function outside any interval of length , centered at the discontinuity. In the second part of the thesis, we define parametric polynomial Lp interpolating splines. After giving some important properties of these splines, we focus on the case p=1 for C1 cubics, G1 cubics and C2 quintics. Since the L1-norm treats each coordinate independently, the L1 splines are not invariant by rotation. To obtain invariance by rotation, we propose to make a local change of coordinates on each segment. In this way, we achieve the desired rotational invariance, and we obtain an additional shape parameter

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Informations

  • Détails : 1 vol. (167 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 165-167.

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  • Bibliothèque : Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis. Service commun de la documentation. Site du Mont Houy.
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : 900449 TH
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