Analyse multi-échelle du modèle Kelvin-Voigt de la thermo-viscoélasticité

par Zouhair Abdessamad

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées et applications mathématiques

Sous la direction de Grigori Panassenko et de Ilia Kostine.

Soutenue en 2007

à Saint-Etienne .


  • Résumé

    Le travail effectué au cours de cette thèse porte sur l'étude asymptotique d'un modèle mathématique décrivant le processus de formation d'un matériau composite, de structure périodique de période ε. On considère un matériau composite constitué de fibres solides noyées dans une résine qui se solidifie sous l'effet de la chaleur (réaction de réticulation). L'état du milieu déformé décrivant les propriétés thermo-viscoélastiques du matériau est modélisé, au niveau microscopique, par l'équation de la viscoélasticité (modèle de Kelvin-Voigt) avec des coefficients oscillants dépendant de la température, couplée avec un modèle décrivant le processus de solidification de la résine. Ce modèle est décrit mathématiquement par un couplage entre l'équation de la chaleur et une équation cinétique caractérisant la réaction de réticulation. Dans un premier temps, on étudie le modèle de Kelvin-Voigt découplé du problème du transfert thermique où les coefficients sont indépendants de la température. A l'aide de la méthode de Faedo Galerkin, on établit un résultat d'existence et d'unicité. En utilisant un développement asymptotique formel, on détermine la structure du problème homogénéisé et, dans un cas particulier, on obtient une estimation d'erreur d'ordre √ε. Ensuite, on établit une estimation de la différence entre la solution exacte du problème du transfert thermique et celle du problème homogénéisé associé. Le dernier chapitre est consacré au problème complet, prenant en compte les effets thermiques et viscoélastiques. On détermine le problème homogénéisé décrivant le comportement macroscopique du matériau et on obtient une estimation d'erreur

  • Titre traduit

    Multiscale study of the Kevin-Voigt model of thermo-viscoelasticity


  • Résumé

    We aim, in this work, the asymptotic study of a mathematical model describing the process of formation of a composite material which has a periodic geometry with a small period ε. We consider a composite material composed of solid fibres included in a resin which becomes solid when it is heated up (reaction of reticulation). The mechanical properties are described by the viscoelastic media equation (Kelvin-Voigt model) with rapidly oscillating periodic coefficients depending on the temperature. The temperature is given by the heat equation coupled with a kinetic equation describing the process of solidification of the resin. First, we study the model of Kevin-Voigt, where the coefficients are independent of the temperature. By using the Faedo Galerkin method, we prove the existence and uniqueness results. By using an asymptotic development, we establish the structure of the homogenized problem and, in a particular case, we obtain an error estimate in order √ε. Second, we interest by the study of the problem modelling the cure process where we obtain an estimate of the difference between the exact solution and the solution of its associated homogenized problem. Finally, we study the complete problem taking account of the thermal and viscoelastic effects. We prove the existence and uniqueness of a solution, we establish the homogenized problem describing the macroscopic behavior of the material components and we obtain an error estimate proving the convergence of the exact solution to the approximate solution as the small parameter ε tends to zero

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Informations

  • Détails : 1 vol. (137 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. [135]-137

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  • Bibliothèque : Université Jean Monnet. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TS 50780
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