Interpolation réelle des espaces de Sobolev sur les espaces métriques mesurés et applications aux inégalités fonctionnelles

par Nadine Badr

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Pascal Auscher.


  • Résumé

    Nous étudions l’interpolation réelle des espaces de Sobolev et ses applications. Le mémoire de la thèse est constituée de deux parties. Dans la première partie , nous démontrons au premier chapitre que les espaces de Sobolev non homogènes $$ W {p}^{1}$$ (resp. Homogènes $$\dot{W}_{p}^{1}$$) sur les variétés Riemanniennes vérifiant une propriétéde doublement et une inégalité de Poincaré forment une échelle d’interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat à d’autres cadres géométriques. Dans un deuxième court chapitre, nous comparons différents espaces de Sobolev sur le cône Euclidien et nous regardons le lien de ces espaces avec l’interpolation. Nous montrons sur cet exemple que l’hypothèse de Poincaré n’est plus une condition nécessaire pour pouvoir interpoler les espaces de Sobolev. Dans le dernier chapitre de cette partie, nous définissons les espaces de Sobolev non homogènes $$W_{p,V}^{1}$$ (resp. Homogènes $$\dot{W}_{p,V}^{1}$$ associé à un potentiel positif $$V$$ sur une variété Riemannienne. Nous démontrons que si la variété vérifie une propriété de doublement et une inégalité de Poincaré et si de plus $$V$$ est dans une classe de Hôlder inverse, ces espaces forment aussi une échelle d’interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat aux cas des groupes de Lie. Dans la deuxième partie, dans un premier chapitre en collaboration avec E. Russ, nous donnons des conditions suffisantes pour comparer sur un graphe $$\naba f\_{p}$$ et $$\(I-P)^{1/2}f\_{p}$$. Ces conditions sont différentes pour $$p2$$ et $$p2$$. Les preuves reposent sur des techniques récentes utilisés pour des opérateurs au delà de la classe des opérateurs de Calderon-Zygmund. Pour notre but, nous démontrons aussi des résultats d’interpolation des espaces de Sobolev et des inégalités de Littlewood-Paley. Dans le deuxième chapitre, nous démontrons en utilisant notre résultat d’interpolation, des inégalités de Gagliardo-nirenberg sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant le doublement, des inégalités de Poincaré et pseudo-Poincaré. Ce résultat s’applique aussi dans le cadre des groupes de Lie et des graphes.

  • Titre traduit

    Real interpolation of Sobolev spaces on metric measure spaces and application to functional inequalities


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    We study the real interpolation of Sobolev spaces and its applications. The manuscript is composed of two parts. In the first part, we prove in a first chapter that the Sobolev spaces $$W^{1}_{p}$$ defined on a Riemannian manifold satisfying a doubling propertiy and a Poincaré inequality form a real interpolation scale on an interval of values of p depending on our hypotheses. We extend this result to more general metric spaces. In the second chapter, we compare different Sobolev spaces defined on the Euclidean cone and study the interpolation of these spaces. Using this example, we see that Poincaré inequality is not a necessary condition to interpolate Sobolev spaces. In the second chapter, we compare different Sobolev spaces defined on the Euclidean cone and study the interpolation of these spaces. Using this example, we see that Poincaré inequality is not a necessary condition to interpolate Sobolev spaces. In the last chapter of this part, we study on a Riemannian manifold the interpolation property of Sobolev spaces of order 1 denoted by $$W^{1}_{p,V}$$, arising from Schrödinger operators with positive potential. We show that, under doubling property and Poincaré inequality these spaces form a real interpolation scale on an interval of values of p. We extend our result on Lie groups. In the second part, in a first chapter (collaboration with E. Russ), we give sufficient conditions on a graph in order to compare $$\\naba f\_{p}$$ and $$\(I-P)^{1/2}f\_{p}$$. These conditions are different for $$p<2$$ and $$p>2$$. The proofs rely on recent techniques developed to handle operators beyond the class of Calderon-Zygmund operators. For our purpose, we also prove interpolation results for Sobolev spaces and Littlewood-Paley inequalities. In the second chapter, we prove using our interpolation results Gagliardo-Nirenberg inequalities on some classes of manifolds, Lie groups and graphs.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (IV-169 p.)
  • Annexes : Bibliogr. en fin de chapitres

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 0g ORSAY(2007)305
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : BADR
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.