Instabilité des équations de Schrödinger

par Laurent Thomann

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Nicolas Burq.

Soutenue en 2007

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des Sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .


  • Résumé

    Dans cette these on s'est interesse a differents phenomenes d'instabilites pour des equations de Schrodinger non-lineaires. Dans la premiere partie on met en evidence un mecanisme de decoherence de phase pour l' equation (semi-classique) de Gross-Pitaevski en dimension 3. Ce phenomene geometrique est du a la presence du potentiel harmonique, qui permet de construire -via une methode de minimisation- des solutions stationnaires se concentrant sur des cercles de R3. Dans la deuxieme partie, on obtient un resultat d'instabilite geometrique pour NLS cubique posee sur une surface riemannienne possedant une geodesique periodique, stable et non-degeneree. Avec une methode WKB, on constuit des quasimodes non-lineaires, qui permettent d'obtenir des solutions approchees pour des temps pour lesquels l'instabilite se produit. On generalise ainsi des travaux de Burq-Gerard-Tzvetkov pour la sphere. Enfin, dans la derniere partie on considere des equations sur-critiques sur une variete de dimension d. Grace a une optique geometrique non-lineaire dans un cadre analytique on peut montrer un mecanisme de perte de derivees dans les espaces de Sobolev, et une instabilite dans l'espace d'energie.

  • Titre traduit

    Instabilities for Schrödinger equations


  • Résumé

    In this work we study different instability phenomena for nonlinear Schrodinger equations. In the first part we show a phase decoherence mechanism for the semiclassical Gross-Pitaevski equation in dimension 3. This geometrical phenomenon occurs because the harmonical potential allows the construction of stationnary solutions to the equation which concentrate on circles of R3. In the second part, we obtain a geometric instability result for the cubic NLS on a riemannian surface. We assume that this surface admits a stable and nondegenerate periodic geodesic. Then with a WKB method we construct nonlinear quasimodes and we obtain approximate solutions to the equation for times such that instability occurs. Thus we generalize results of Burq-Gerard-Tzvetkov on the sphere. In the last part, we consider supercritical Schr\"odinger equations on a riemannian manifold of dimension d. Thanks to a nonlinear geometric optics in an analytic frame, we show a mechanism of loss of derivatives in Sobolev spaces, and an instabilty in the energy space.

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Cette thèse a donné lieu à une publication en 2008 par [CCSD] [diffusion/distribution] à Villeurbanne

Instabilité des équations de Schrödinger

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Informations

  • Détails : 1 vol. (136 p.)
  • Annexes : Bibliogr. en fin de chapitres

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