Flots stochastiques d’opérateurs dirigés par des bruits gaussiens et poissonniens

Stochastic flows of operators driven by Gaussian and Poissonian noises

• Auteur / Autrice : Bertrand Micaux
• Direction : Yves Le Jan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Formes de Dirichlet

Mots clés libres

EDS non lipschitziennes

Solutions fortes d'EDS

Solutions statistiques fortes

Chaos de Wiener

Chaos de Poisson

Résumé

Dans l’article Integration of Brownian vector fields (2002), Le Jan et Raimond étudient des ÉDS dirigées par des champs de vecteurs browniens non nécessairement réguliers. Sous certaines hypothèses de symétrie, ils montrent qu’elles admettent des solutions fortes sous forme de flots d’opérateurs aléatoires qu’ils appellent solutions statistiques fortes de l’équation. L’objet de cette thèse est de généraliser ces résultats dans le cas où l’on ajoute un processus ponctuel de Poisson aux ÉDS étudiées. Au moyen de la théorie des chaos de Wiener-Poisson, nous établissons un théorème d’existence et d’unicité de ces flots stochastiques d’opérateurs. Les éléments de théorie des chaos ainsi que les liens entre semi-groupes, générateurs et formes symétriques nécessaires à notre étude sont rappelés et abondamment illustrés. Dans le cas purement brownien, nous reprenons la preuve de la positivité des solutions donnée par Le Jan et Raimond pour en donner une nouvelle présentation remédiant à quelques lacunes et faisant intervenir des intégrales stochastiques le long des trajectoires d’un processus de Hunt. Dans le cas poissonnien, nous illustrons notre étude en introduisant un modèle d’« exploration de nuage d’étoiles ». Il s’agit d’un flot stochastique d’applications discontinues dont les sauts sont déclenchés par une mesure de Poisson. Ce flot vérifie une ÉDS relevant de notre étude. Or cette équation peut être résolue sous des hypothèses plus faibles que celles nécessaires à la construction du flot d’applications ; nous obtenons ainsi une généralisation de notre modèle.

In the article Integration of Brownian vector fields (2002), Le Jan and Raimond studied SDEs whose coefficients were not necessarily smooth. Under certain assumptions of symmetry, they showed that these equations admitted strong solutions which were stochastic flows of operators. They called them strong statistical solutions of the SDEs. The aim of this thesis is to extend those results to the situation where a Poisson point process is added to the SDEs. We establish an existence and uniqueness theorem for stochastic flows of operators driven by these SDEs using Wiener-Poisson chaos expansion techniques. We recall basic facts from Wiener-Poisson chaos theory and the links between semigroups, generators and symmetric forms that we need in our study. In the purely Brownian case, we give another presentation of the proof of positivity of solutions to fill some gaps in the initial one. This new account involves stochastic integrals along the paths of a Hunt process. In the Poisson case, we introduce a “star cloud exploration” model to illustrate our general framework. Here the jumps of a Poisson process give rise to discontinuities in the paths of a stochastic flow of maps. The resulting flow checks an SDE which comes within our framework and can be solved under weaker assumptions than those required to build the flow of maps. This way, we get a generalization of our model.