Processus de Markov diffusifs par morceaux : outils analytiques et numériques

par Julien Bect

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Gilles Fleury.


  • Résumé

    Ce travail de thèse a pour objet l’étude de modèles markoviens qui résultent de la prise en compte d'incertitudes – entrées bruitées, dynamique mal connue, ou évènements aléatoires par exemple – dans des systèmes possédant une dynamique « hybride ». De tels modèles, parfois qualifiés de Systèmes Hybrides Stochastiques (SHS), sont utilisés principalement en automatique et en recherche opérationnelle. Nous introduisons dans la première partie du mémoire la notion de processus diffusif par morceaux, qui fournit un cadre théorique général permettant d'unifier les différentes classes de modèles hybrides connues dans la littérature. Différents aspects de ces modèles sont alors envisagés, depuis leur construction mathématique (traitée grâce au théorème de renaissance pour les processus de Markov) jusqu'à l'étude de leur générateur étendu, en passant par le phénomène de Zénon. La deuxième partie du mémoire s'intéresse plus particulièrement à la question de la "propagation de l'incertitude", c'est-à-dire à la manière dont évolue la loi marginale de l'état au cours du temps. L'équation de Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) usuelle est généralisée à une large classe de processus diffusifs par morceaux, en particulier grâce aux notions d'intensité moyenne de sauts et de courant de probabilité. Ces résultats sont illustrés par deux exemples de modèles multidimensionnels, pour lesquels une résolution numérique de l'équation de FPK généralisée a été effectuée grâce à une discrétisation en volumes finis. La comparaison avec des méthodes de type Monte-Carlo est également discutée à partir de ces deux exemples.

  • Titre traduit

    Piecewise diffusion Markov processes : analytical and numerical tools


  • Résumé

    This thesis studies some Markovian models allowing uncertainties to be taken into account in systems having a "hybrid" dynamics. Possible sources of uncertainty include noisy inputs, poorly known dynamics and random events for instance. Such models, sometimes known as Stochastic Hybrid Systems (SHS), are used in the fields of automatic control and operation research, among others. In the first part of the thesis, we introduce the concept of a piecewise diffusion process, which provides a theoretical framework unifying the various classes of hybrid models known in the literature. Several aspects of these models are then considered, including their mathematical construction (using a revival theorem for Markov processes), the study of their extended generator and Zeno's phenomenon. The second part of the thesis focuses on the "progagation of uncertainty", i. E. On the time evolution of the marginal law of the state. The well-known Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) equation is generalized to a large classe of piecewise diffusion processes, thanks to concepts like the average jump intensity and the probability current. These results are illustrated by mean of two multidimensional examples, for which a numerical resolution of the generalized FPK equation was carried out by finite volumes discretization. The comparison with Monte-Carlo methods is also discussed.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (172p.)
  • Annexes : Bibliogr. p.159 -172

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 0g ORSAY(2007)79
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