Boundary value problems arising from superconductivity : semiclassical estimates and asymptotic behaviour of solutions

Problèmes aux limites issus de la supraconductivité : estimations semi-classiques et comportement asymptotique des solutions

• Auteur / Autrice : Ayman Kachmar
• Direction : Bernard Helffer, Mustapha Jazar
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse semiclassique

Théorie spectrale (mathématiques)

Mots clés libres

Opérateur Schrôdinger magnétique

Conditions au bord de de Gennes

Estimations d'Agmon

Fonctionnelle de Ginzburg-Landau à coefficients discontinus

Résumé

Cette thèse est consacrèe à l'étude de plusieurs modèles de `l'effet de proximité' dans le cadre de la thèorie de Ginzburg-Landau de la supraconductivité. Ces modèles proviennent des interfaces entre des supraconducteurs et des métaux normaux. Dans une première partie de cette thèse, nous estimons dans le régime semiclassique le bas du spectre d'un opérateur de Schrôdinger magnétique associé à une condition au bord du type Fourier (Robin), appelée dans ce contexte la condition au bord de de Gennes, et nous étudions également la localisation des états fondamentaux. Nous exhibons des cas où la condition au bord de de Gennes a des effets forts sur cette localisation. Dans une autre partie, nous construisons un problème spectral lié à l'apparition de la supraconductivité pour une fonctionnelle de Ginzburg-Landau généralisée ayant des coefficients discontinues, où le `paramètre d'ordre' et le `potentiel magnétique' sont définis dans l'espace entier. Pourle régime où le paramétre de Ginzburg-Landau est grand, nous estimons le champ surcritique corespondant au champ pour lequel les états normaux perdent leur stabilité. Dans d'autres régimes asymptotiques, nous retrouvons un développement limité déjà obtenu pour un autre modèle `standard'. Dans la dernière partie, nous étudions de nouveau une fonctionnelle de Ginzburg-Landau généralisée mais dans le cas sans champ magnétique appliqué. Nous obtenons dans ce cas le comportement asymptotique du paramètre d'ordre pour le régime où le paramètre de Ginzburg-Landau est grand. Ceci montre en particulier que la supraconductivité persiste dans une bande mince dans le métal normal, près du bord du supraconducteur.

This thesis is devoted to the study of various models for the `proximity effect' in the frame work of the Ginzburg-Landau theory of superconductivity. These models arise in the situation when a superconductor is adjacent to a normal metal. In a first part of this thesis, we estimate in the semi-classical limit the ground state energy of a magnetic Schrôdinger operator associated to a Fourier (Robin) type boundary condition, called in this context the de Gennes boundary condition, and we study the localization of the ground states. We exhibit cases when the de Gennes boundary condition has strong effects on this localization. In another part, we formulate a spectral problem related to the onset of superconductivity for a generalized Ginzburg-Landau functional having discontinuous coefficients, where the order parameter and the magnetic potential are defined in the whole space In the regime when the Ginzburg-Landau parameter (of the superconducting material) is large, we estimate the critical applied magnetic field for which the normal state will lose its stability. In some asymptotic situations, we recover results related to the `standard' Ginzburg-Landau model. In the final part, we study again a generalized Ginzburg-Landau functional in the case without an applied magnetic field. We determine in this case the asymptotic behavior of the order parameter in the regime when the Ginzburg-Landau parameter is large. This shows in particular that the superconductivity persists in a thin boundary sheath of the normal material, near the boundary of the superconductor.