Propriété (T) et morphisme de Baum-Connes tordus par une représentation non unitaire

par Maria Gomez Aparicio

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Vincent Lafforgue.

Soutenue en 2007

à Paris 7 .


  • Résumé

    Ma thèse concerne des variantes de la propriété (T) de Kazhdan et de la conjecture de Baum-Connes tordues par des représentations de dimension finie qui ne sont pas unitaires. Soit G un groupe localement compact et (p,V) une représentation de dimension finie de G. Dans le Chapitre 1, si p est irréductible, nous définissons une version tordue de la propriété (T) en considérant des produits tensoriels par p de représentations unitaires de G. Nous définissons deux algèbres de Banach tordues, A(p,G) et A_r(p,G), analogues aux C*-algèbres, C*(G) et C*_r(G), et nous définissons la propriété (T) tordue par p en termes de A(p, G). Nous montrons que la plupart des groupes de Lie semi-simples réels ayant la propriété (T) ont la propriété (T) tordue par n'importe quelle représentation irréductible de dimension finie. Les Chapitres 2 et 3 seront consacrés au calcul de la K-théorie des algèbres tordues. Nous définissons une application d'assemblage tordue du membre de gauche du morphisme de Baum-Connes, dans la K-théorie de A_r(p,G) et nous montrons ensuite que ce morphisme de Baum-Connes tordu est bijectif pour une large classe de groupes vérifiant la conjecture de Baum-Connes. Dans le Chapitre 4, nous montrons que le produit tensoriel par p définit un morphisme de A(p,G) dans le produit tensoriel de C*_r(G) et de End(V) qui fournit un morphisme de groupes de K(A(p,G)) dans K(C*_r(G)). Nous calculons ce morphisme sur l'image de l'application d'assemblage tordue. Pour cela, nous définissons une action de l'anneau des représentations de dimension finie de G sur KAtop(G) qui sera compatible avec le produit tensoriel par p ainsi qu'avec le morphisme de Baum-Connes tordu.

  • Titre traduit

    Twisting Kazhdan's property (T) and the Baum-Connes conjecture by a non-unitary representation


  • Résumé

    In my thesis I defined a twisting of Kazhdan's property (T) and of the Baum-Connes conjecture by some non-unitary finite dimensional representations. Let G be a locally compact group and (p,V) be a finite dimensional representation of G. In Chapter 1, when p is irreducible, we consider tensor products of p by irreducible unitary representations of G to define a twisting of property (T). We introduce two Banach algebras, A(p,G) and A_r(p,G), analogous to the C*-group algebras C*(G) and C*_r(G), and we define property (T) twisted by p in terms of A(p, G). We then show that most of real semi-simple Lie groups verifying property (T) have property (T) twisted by any irreducible finite dimensional representation. In Chapter 2 and 3 we compute the K-theory of these "twisted" group algebras. To do these we define an assembly map defined on the left part of the Baum-Connes morphism, KAtop(G), and with image in the K-theory of A_r(p,G). We then prove that these twisted Baum-Connes map is an isomorphism for a large class of groups verifying the Baum-Connes conjecture. Finally, in Chapter 4 we show that the tensor product by p defines a morphism from A(p,G) to the tensor product of C*_r(G) and End(V) and that these induces a group morphism between K(A(p,G)) and K(C*_r(G)). We then define an action of the finite dimensional representation ring of G on KAtop(G) that is compatible with the tensor product by p and with the twisted Baum-Connes map. This enables us to compute the above morphism on the image of the twisted assembly map.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (128 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 123-128

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  • Bibliothèque : Sorbonne Université. Bibliothèque de Sorbonne Université. Bibliothèque Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : THESE 07012
  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2007) 189

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  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : 2007PA077189
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