La complexité de la relation d'isomorphisme pour les modèles dénombrables d'une théorie oméga-stable

par Martin Koerwien

Thèse de doctorat en Mathématiques. Logique et fondements de l'informatique

Sous la direction de Élisabeth Bouscaren.

Soutenue en 2007

à Paris 7 .


  • Résumé

    Nous comparons deux notions bien établies de complexité de la classe des modèles dénombrables d'une théorie, l'une issue de la théorie des modèles, la profondeur d'une théorie ω-stable et l'autre introduite en théorie des ensembles descriptive, la réductibilité Borélienne. Dans le cas d'une théorie ω-stable nous montrons d'abord qu'une variante de la NDOP adaptée au cas des modèles dénombrables, la ENI-NDOP, permet de décomposer les modèles dénombrables en des arbres de modèles "minimaux", ce qui nous amène à travailler avec la variante correspondante de la profondeur, la eni-profondeur. C. Laskowski et S. Shelah ont récemment démontré qu'une théorie ω-stable qui n'a pas la ENI-NDOP ou qui a la ENI-NDOP mais est eni-profonde, a une relation d'isomorphisme de complexité maximale (au sens de la réductibilité Borélienne). Dans le cas où une théorie a moins de 2No modèles dénombrables ou est de eni-profondeur 1, nous montrons que la relation d'isomorphisme est de complexité triviale ("lisse"). Ensuite, nous construisons une suite (Tα)1≤α<ω de théories w-stables avec la ENI-NDOP où les deux notions de complexité coïncident : Tα est de eni-profondeur α et la suite des relations d'isomorphisme est strictement croissante (et cofinale dans un certain sens) par rapport à la réductibilité Borélienne. Nous terminons par un résultat qui montre que le rapport entre ces notions est moins étroit qu'on pourrait l'imaginer. Il existe une théorie de eni-profondeur 2 avec une relation d'isomorphisme très compliquée : elle n'est pas Borélienne

  • Titre traduit

    Complexity of the isomorphism relation for countable models of omega-stable theories


  • Résumé

    We compare two well-known notions of complexity for classes of countable models of a given theory. On the one hand the model theoretic notion of depth of an ω-stable theory and on the other hand a notion coming from descriptive set theory called Borel reducibility. In the case of ω-stable theories, we show that a variant of the property NDOP, adapted to the case of countable theories, the ENI-NDOP, suffices to decompose countable models by trees of "minimal" models, which leads us to the corresponding notion of eni-depth, instead of depth. C. Laskowski and S. Shelah have recently shown that an ω-stable theory which either does not have the ENI-NDOP or is eni-deep, has an isomorphism relation of maximal complexity (in the sense of Borel reducibility). If a theory either has less than 2No countable models or has the ENI-NDOP and is of eni-depth 1, we show that the isomorphism relation has trivial complexity (it is "smooth"). Then, we construct a sequence (Tα)i<α<<ω1 of ω-stable theories having ENI-NDOP where thé two notions of complexity coïncide : Tα has eni-depth α and the sequence of isomorphism relations is strictly increasing (and cofinal in some sense) with respect to Borel reducibility. Finally, we show a resultat which implies that the relationship between these two notions is less close than it might seem at first. There exists a theory of eni-depth 2 which has a very complicated isomorphism relation : it is not Borel.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (xx-122 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 121-122, 29 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2007) 084
  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : THESE 07051
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