Entropy satisfying schemes for solving systems of Saint Venant type

• Auteur / Autrice : Tomás Morales de Luna
• Direction : François Bouchut
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés libres

Inégalité d'entropie

Schéma balancé

Modèle de Savage-Hutter

Système de Saint Venant

Système bi-couche pour les écoulements d'eau

Schémas positifs pour les écoulements d'eau

Résumé

L'objet de cette thèse est de contribuer à l'étude numérique des lois de conservation hyperboliques, et au concept d'inégalité d'entropie. On introduit la notion d'inégalité d'entropie pour un système quasi-linéaire qui permet la définition de schémas numériques stables. On traite d’abord le système de Saint Venant. On développe un schéma qui préserve les équilibres subsoniques et qui vérifie une inégalité d'entropie semi-discrète. Ensuite, nous étudions le système à deux couches pour les eaux peu profondes. Des schémas qui résolvent chaque couche de manière indépendante en contrôlant les instabilités par une inégalité d’entropie sont proposés. Le solveur simple de Suliciu, qui a été utilisé pour les simulations numériques, est généralisé afin de capturer les chocs pour Saint Venant de manière exacte et vérifier une inégalité d'entropie semi-discrète. Finalement, on propose un modèle du type Saint Venant pour les écoulements gravitaires qui admet une inégalité d'entropie.

The purpose of this dissertation is to contribute to the numerical study of hyperbolic conservations laws and to the concept of entropy inequality. We introduce the notion of entropy inequality for a quasi-linear system which allows the definition of stable numerical schemes. We focus first on the Saint Venant system. We present a scheme that preserves all subsonic equilibria and is semi-discrete entropy satisfying. Then, we study the two layers shallow water equations. Schemes that solve each layer independently and control instabilities using entropy inequalities are proposed. The simple Suliciu solver, which is used for the numerical simulations, is generalized in order to have a semi-discrete entropy satisfying scheme that captures exactly the shocks for Saint Venant. Finally, we introduce a model of Saint Venant type for gravity driven shallow water flows that has an entr