Estimation non paramétrique adaptative pour les chaînes de Markov et les chaînes de Markov cachées

par Claire Lacour

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Fabienne Comte.

Soutenue en 2007

à Paris 5 .


  • Résumé

    Dans cette thèse, on considère une chaîne de Markov (Xi) à espace d'états continu que l'on suppose récurrente positive et stationnaire. L'objectif est d'estimer la densité de transition II définie par II(x,y)dy = P(Xi+1 E dy\Xi = x). On utilise la sélection de modèles pour construire des estimateurs adaptatifs. On se place dans le cadre minimax sur L2 et l'on s'intéresse aux vitesses de convergence obtenues lorsque la densité de transition est supposée régulière. Le risque intégré de nos estimateurs est majoré grâce au contrôle de processus empiriques par une inégalité de concentration de Talagrand. Dans une première partie, on suppose que la chaîne est directement observée. Deux estimateurs différents sont présentés, l'un par quotient, l'autre minimisant un contraste moindres carrés et prenant également en compte l'anisotropie du problème. Dans une deuxième partie, on aborde le cas d'observations bruitées YI,. . . ,Yn+1 où Yi = Xi + ei avec (ei) un bruit indépendant de la chaîne (Xi). On généralise à ce cas les deux estimateurs précédents. Des simulations illustrent les performances des estimateurs.

  • Titre traduit

    Adaptive nonparametric estimation for Markov chains and hidden Markov chains


  • Résumé

    In this thesis, we consider a Markov chain (Xi) with continuous state space which is assumed positive recurrent and stationary. The aim is to estimate the transition density II defined by II(X,y)dy = P(Xi+1 E dy\Xi = x). We use model selection to construct adaptive estimators. We work in the minimax framework on L2 and we are interested in the rates of convergence obtained when transition density is supposed to be regular. The integrated risk of our estimators is bounded thanks to control of empirical processes by a concentration inequality of Talagrand. In a first part, we suppose that the chain is directly observed. Two different estimators are introduced, one by quotient, the other minimizing a least squares contrast and also taking into account the anisotropy of the problem. In a second part, we treat the case of noisy observations Y1,. . . , Yn+i where Yi = Xi + ei with (Ei) a noise independent of the chain (Xi). We generalize to this case i the two previous estimators. Some simulations illustrate the performances of the estimators.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (203 p.)
  • Annexes : Bibliogr. f. 197-203

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