Complex singularities of incompressible ideal flows

Singularités complexes des écoulements incompressibles parfaits

• Auteur / Autrice : Walter Pauls
• Direction : Uriel Frisch
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces d'interpolation

Processus stochastiques

Analyse fonctionnelle non linéaire

Calculs numériques

Singularités (mathématiques)

Résumé

Cette thèse regroupe des travaux numériques et théoriques concernant les singularités d’équations de type hydrodynamique. L’accent est mis sur les singularités complexes ; pour des écoulements initialement analytiques, celles-ci précèdent nécessairement tout singularité réelle (explosion de la solution). La première partie est dédiée aux outils numériques et analytiques adaptés aux singularités. Cela inclut des séries de Taylor et de Fourier d’ordre élevé et de l’interpolation/extrapolation asymptotique. La seconde partie de la thèse concerne la détermination du type des singularités aux temps très courts, en utilisant des calculs en précision extrême (jusqu’à cent chiffres décimaux). Les exposants d’échelle peuvent ainsi être déterminés avec une précision atteignant en général au moins dix à la puissance moins trois et à l’occasion jusqu’à dix à la puissance moins dix, ce qui contraint très fortement la théorie. On montre que le problème des singularités aux temps courts peut toujours être réduit à l’étude de conditions initiales n’ayant que d modes de Fourier, où d est la dimension de l’espace. On montre que les équations d’Euler incompressibles en dimension deux et trois possèdent des singularités non universelles dont le type dépend des conditions initiales. La troisième partie concerne les singularités en coordonnées lagrangiennes qui peuvent être obtenues explicitement pour une certaine classe d’écoulements. Dans la quatrième partie on étudie la diffusion stochastique dans des écoulements cellulaires aux grands nombres de Péclet ; on donne en particulier une description détaillée du processus limite.

This thesis encompasses numerical and theoretical work concerning the singularities of equations of hydrodynamical type. The emphasis is on complex singularities which, for flow that is initially analytic, necessarily precede any real singularity (blow-up). The first part of the thesis is devoted to the numerical and analytical tools appropriate for singularities. This includes high-order Taylor and Fourier series and asymptotic interpolation-extrapolation. The second part of the thesis concerns the determination of the type of singularities at very short times, using extremely high precision (up to one hundred decimal figures). Scaling exponents can thus be determined with a precision which is generally at least ten to the minus three and can occasionally reach ten to the minus ten, thereby putting strong constraints on possible theory. It is shown that the problem of short-time singularities can always be reduced to studying initial conditions having just of Fourier modes, where d is the dimension of space. It is found that the two-and three-dimensional incompressible Euler equations have non-universal singularities whose type depends on the initial conditions. The third part concerns the singularities in Lagrangian coordinates which can be obtained explicitly for a certain class of flows. In the fourth part the stochastic diffusion in cellular flows at high Péclet numbers is studied ; In particular a detailed description of the limiting process is provided.