Synthèse et estimation de mouvements browniens multifractionnaires et autres processus à régularité prescrite : définition du processus auto-régulé multifractionnaire et applications

par Olivier Barrière

Thèse de doctorat en Automatique et informatique appliquée

Sous la direction de Jacques Lévy Véhel.

Soutenue en 2007

à Nantes .


  • Résumé

    Cette thèse porte sur la simulation et l’étude statistique de divers processus du point de vue de leur régularité locale, mesurée par l’exposant de Hölder. Dans la première partie, nous rappelons la définition du mouvement Brownien multifractionnaire, où le paramètre de Hurst, qui détermine la régularité Höldérienne, est une fonction continue du temps. Nous présentons différentes méthodes de synthèse à la fois en 1D et en 2D, et nous nous intéressons au problème de l’estimation de la régularité locale, pour laquelle nous perfectionnons la méthode fondée sur les variations quadratiques généralisés. Dans la seconde partie, essentiellement statistique, nous proposons une méthode permettant sous certaines hypothèses que nous explicitons de diminuer la variance d’un estimateur optimal sans dégrader son risque, en utilisant conjointement plusieurs estimateurs. Afin de présenter un cas d’application de cette méthode, nous utilisons un processus défini comme une série d’ondelettes aléatoires à coefficients Gaussiens indépendants. Ceci permet de mettre en lumière les relations entre la taille du voisinage de prémoyennage et le nombre de niveaux pour la régression. La troisième partie introduit un nouveau processus multifractionnaire, dénommé "processus auto régulé". L’idée est de construire un processus Z dont la régularité locale Z soit une fonction de la valeur du processus, c. à. D tel que Z(t) = g(Z(t)) pour tout t presque surement. Ce modèle est motivé par l’observation de phénomènes naturels, pour lesquels on observe que la régularité dépend des valeurs du phénomène : en effet, un terrain montagneux, dont l’altitude est élevée, est foncièrement plus irrégulier qu’un terrain de plaine. La construction d’un tel processus utilise un théorème de point fixe dans un espace de Banach, en se fondant sur un champ de mouvements Browniens fractionnaires. Une application détaillée au rythme cardiaque est présentée

  • Titre traduit

    Synthesis and estimation of multifractional Brownian motions and other processes with prescribed regularity : definition of the multifractional self regulated process and applications


  • Résumé

    This thesis deals with the statistical simulation and study of various processes from the point of view of their local regularity, measured by Hölder exponent. In the first part, we recall the definition of the multifractional Brownian motion, where the Husrt parameter, which determines the Hölderian regularity, is a continuous function of time. We present various methods of synthesis both in 1D and 2D, and we are interested in the problem of the estimation of the local regularity, for which we improve the method founded on the generalized quadratic variations. In the second part, primarily statistical, we propose a method allowing, under certain assumptions, to decrease the variance of an optimal estimator without degrading its risk, by using several estimators jointly. In order to present a test case of this method, we introduce a process defined as a series of random wavelets with independent Gaussian coefficients. This allows to clarify the relations between the size of the size of the preaveraging neighborhood and the number of levels of the regression. The third part introduces a new multifractional process, called "self-regulating process". The idea is to create a process Z whose local regularity alphaZ is a function of the process value, i. E. Such as alphaZ(t) = g(Z(t)) for all t almost surely. This model is justified by the observation of natural phenomena, for which one observes that the regularity depends on the values of the phenomenon : indeed, a mountainous ground, whose altitude is high, is fundamentally more irregular than the ground of plain. The construction of such a process uses a fixed point theorem in a Banach space, while being based on a field of fractional Brownian motions. A detailed application to the cardiac rhythm is presented

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Informations

  • Détails : 1 vol. (236 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 233-236

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Nantes. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 2007 NANT 2153
  • Bibliothèque : Ecole centrale de Nantes. Médiathèque.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : Th. 2254 bis
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