Estimations dispersives

par Simon Moulin

Thèse de doctorat en Mathématiques. Équations aux dérivées partielles

Sous la direction de Georgi Vodev et de Georgi Popov.

Soutenue en 2007

à Nantes .


  • Résumé

    Simon Moulin présente une thèse qui comporte deux parties sur les estimations dispersives pour l’équation de Schrödinger et celle des ondes. Si des résultats assez précis sont connus en dimension 1, 2 et 3, les meilleurs résultats en dimension ≥4 sont connus depuis plus de dix ans et sont ceux de Beals pour l’équation des ondes et de Journé, Soffer et Sogge pour l’équation de Schrödinger. G. Vodev a traité le cas des hautes fréquences dans deux articles. Simon Moulin a complété l’étude en traitant le cas des basses fréquences, ce qui permet d’améiorer les résultats existants tout en apportant une nouvelle méthode de traitement. Il a écrit trois articles sur ce sujet, dont un en collaboration avec Georgi Vodev. Ces méthodes basées sur une étude appronfondie des propriétés de la résolvante libre permettent aussi l’étude de la dimension 3, ce qui apporte des résulats nouveaux concernant l’éequation des ondes. Elles permettent aussi de traiter le cas des hautes fréquences en dimension 2 pour les deux équations. Dans la première partie, pour l’équation des ondes, il prouve des estimations dispersives à basses fréquences en dimension ≥ 3 pour une large classe de potentiels à valeurs réeelles, à condition que 0 ne soit ni une valeur propre ni une résonance. Cette classe inclue pour n ≥4 les potentiels V [] L∞(Rn)) vérifiant V (x) = O ((x)−(n+1)/2−[]), [] > 0. En dimension n = 2, il prouve des estimations dispersives à hautes fréquences pour une large classe de potentiels à valeurs réelles. Pour l’équation de Schrödinger, il prouve de manière similaire des estimations dispersives à basses fréquences en dimension ≥ 4 pour une large classe de potentiels à valeurs réelles, à condition que 0 ne soit ni une valeur propre ni une résonance. Cette classe inclue les potentiels V [] L∞(Rn) vérifiant V (x) = O[(x)−(n+2)/2−[]), [] > 0. Il améliore aussi les résultats de Journé, Soffer et Sogge dans le cas où le potentiel vérifie des hypothèses de régularité. En dimension n = 2, il prouve en s’appuyant sur les estimations prouvées lors de l’étude de l’équation des ondes des estimations dispersives à hautes fréequences toujours pour une classe de potentiels à valeurs réelles.


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Informations

  • Détails : 1 vol. (106 p.)
  • Annexes : 84 références bibliographiques

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Nantes. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 2007 NANT 2075
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