Combinatoire des tableaux de rubans et des polynômes de Kostka généralisés

par François Descouens

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Jean-Yves Thibon.

Soutenue en 2007

à l'Université de Marne-la-Vallée .


  • Résumé

    Les polynômes de Kostka sont les coefficients de transition entre la base des fonctions de Hall-Littlewood et les fonctions de Schur. On utilise la caractérisation des classes diagonales de tableaux de rubans sur les configurations de Kirillov rubans pour prouver combinatoirement les formules de spécialisation du paramètre t aux racines de l'unité. Dans la théorie des polynômes de Macdonald, il existe une version à deux paramètres q et t des polynômes de Kostka pour lesquels on donne des formules analogues de spécialisation du paramètre t aux racines de l'unité, ainsi qu'une interprétation en termes de caractères cycliques du groupe symétrique. En utilisant les opérateurs de différences divisées, on donne également des généralisations non symétriques des fonctions de Hall-Littlewood. Ces nouveaux polynômes sont une q-déformation des caractères de Demazure. On exhibe aussi un produit scalaire sur les polynômes multivariés pour lequel ces généralisations sont duales. Les outils informatiques développés en filigrane de cette thèse ont permis de construire un environnement homogène, efficace, testé et ouvert pour manipuler efficacement les fonctions symétriques, les différentes familles de polynômes de Kostka généralisés ainsi que les objets combinatoires relatifs à cette théorie comme les tableaux de rubans et les configurations de Kirillov

  • Titre traduit

    Combinatorics of ribbon tableaux and generalized Kostka polynomials


  • Résumé

    Kostka polynomials Kλ,μ(t) are the transition coefficients between Hall-Littlwood functions and Schur functions. We use the characterization of the diagonal classes of ribbon tableaux on ribbon rigged configurations in order to prove formulas for the specialization of the parameter t at roots of unity. We also give similar formulas for Kostka polynomials with two parameters Kλ,μ(q, t). Using divided differences operators, we define non-symmetric generalizations of Hall-Littlewood functions and give a scalar product for which they are dual. The computer algebra tools developed in this thesis permit the community having an efficient and tested environment for manipulating symmetric functions and generalized Kostka polynomials

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Informations

  • Détails : 1 vol. (171 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 155-160

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  • Cote : 2007 DES 0342
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