Sur l’approximation discrète des courbures des courbes planes et des surfaces de l’espace euclidien de dimension 3

• Auteur / Autrice : Fabrice Orgeret
• Direction : Jean-Marie Morvan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Didactique des mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Lyon 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes planes

Résumé

Dans cette thèse, nous donnons des approximations discrètes de quantités lisses associées à certaines courbes planes ou à certaines surfaces de l’espace euclidien de dimension 3. Dans le cas des courbes, le défaut angulaire en un point P de la courbe est une bonne approximation de la courbure de la courbe en ce point. Nous donnons une majoration de l’erreur commise en fonction du jet d’ordre 1 de la courbure, de la géométrie de la courbe et du maximum de la distance entre P et un point variable de la courbe. Dans le cas des surfaces, nous donnons une majoration entre la courbure discrète en un point P d’une surface lisse S et un polynôme homogène en les courbures principales de S en P. Notre majorant dépend du jet d’ordre 1 des courbures de S en P, de l’épaisseur, du nombre de points du maillage et surtout de sa taille. Enfin, nous construisons une classe particulière de maillages qui permet d’avoir des résultats de convergence ponctuels lorsque la taille des maillages tend vers 0

This thesis deals with discrete approximations of curvatures at a point on a smooth curve or surface. The angular defect provides good approximation of the curvature at a point P on a smooth curve. We give an estimation of the error between the discrete curvature at P and the smooth one, using the 1-germ of the curvature at P, a parameter related to the geometry of the curve and the length of the approximation. In the case of a smooth surface S, the angular defect of a regular mesh gives an approximation of a homogenous polynomial of degree two in the principal curvatures. We give an estimation of the difference between the discrete curvature and this polynomial. We show that if we precisely control the geometry of the mesh, we have good estimations of this difference. We finally construct a particular class of meshes that show how to to have convergence results when the length of the meshes tends towards 0