Quasi-orthogonalité : avancées et applications

• Auteur / Autrice : Hédi Joulak
• Direction : Claude Brezinski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Lille 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Gauss, Formules de quadrature de

Polynômes orthogonaux

Analyse numérique

Mots clés libres

Zéros des polynômes -- Localisation

Résumé

Dans un premier temps, j'expose de nouveaux résultats sur la quasi-orthogonalité en traitant de nouvelles formes d'écriture (comme la forme déterminantale ou de nouvelles relations de récurrence). J'ai pu aussi dégager une génération de ces polynômes quasi-orthogonaux d'ordre r en m'appuyant sur un ensemble de r+1 polynômes particuliers (grâce à une caractérisation par les zéros). Dans le chapitre suivant, j'ai généralisé des résultats déjà connus pour le cas où l'ordre valait 1 ou 2. J'ai pu aussi énoncer des entrelacements pour les zéros des polynômes quasi-orthogonaux d'ordre 3. Une avancée notable dans ce chapitre concerne l'étude des zéros pour un ordre quelconque. J'ai mis en exergue le fait qu'il existait toujours un polynôme quasi-orthogonal ayant toutes ses racines réelles et distinctes et que, dans cette configuration, on pouvait donner des conditions nécessaires et suffisantes pour les places du premier et dernier zéro. Les résultats de cette partie sont mis en situation avec les polynômes de Jacobi et de Laguerre-Sonin dans le Chapitre 4 afin d'obtenir de nouvelles relations de récurrence et de nouveaux entrelacements (en faisant varier les degrés et les paramètres les définissant). Je finis par deux parties traitant des méthodes de quadrature, et plus particulièrement des méthodes généralisées de Gauss-Radau et Gauss-Lobatto. Ces parties montrent le lien que l'on peut faire entre les zéros d'un polynôme quasi-orthogonal et les nœuds de ces quadratures. Elles répondent aussi à une question ouverte laissée par W. Gautschi qui nous dit que tous les poids de ces méthodes généralisées de Gauss-Radau et Gauss-Lobatto sont strictement positifs.