Gradient horizontal de fonctions polynomiales

Horizontal gradient of polynimial functions

• Auteur / Autrice : Si Tiep Dinh
• Direction : Patrice Orro, Krzysztof Kurdyka
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Chambéry

Mots clés

Mots clés contrôlés

Champs vectoriels

Résumé

Dans ce travail, nous étudions un type de champs de vecteurs plus large que les champs de gradient polynomiaux, dans Ie cas d'une distribution polynomiale de codimension un satisfaisant la condition de Hormander, ces champs de vecteurs sont appelés ''gradient horizontal''. Notre objectif est de mieux comprendre I'ensemble des points critiques horizontaux, qui est I'ensemble des zéros du gradient horizontal, et leurs trajectoires du gradient horizontal dans Ie cas des polynômes. Concernant I'ensemble des points critiques horizontaux, nous montrons qu'avec une certaine généricité, cet ensemble est lisse de dimension un ou vide et n’intersecte chaque surface de niveau de la fonction qu’en un nombre fini de points. Par ailleurs, via un changement de métrique convenable, nous montrons que génériquement, nous pouvons borner uniformément la longueur des trajectoires du gradient horizontal. En conséquence, génériquement, chaque trajectoire du gradient horizontal a une limite. Ces résultats font suite aux études de S. Lojasiewicz dans Ie cas riemannien. Pour terminer, nous donnons des analyses locales dans Ie cas d'une 2-distribution régulière dans R3

In this work, we study a type of polynomial vector fields larger than the gradient ones, in the case of a polynomial distribution of codimension one satisfying the Hörmander's condition, we call ''horizontal gradient'' these vector fields. Our objective is to understand better the set of horizontal critical points, which is the set of zeros of the horizontal gradient, and the horizontal gradient trajectories in the polynomial case. Concerning the set of horizontal critical points, we show that with a certain genericity, this set is smooth of dimension one or empty and intersect each level surface of the function only at a finite number of points. Moreover, by a suitable change of metric, we show that generically, one can uniformly bound the length of all horizontal gradient trajectories. Consequently, each horizontal gradient trajectory has a limit. These results follow upon the studies of S. Lojasiewicz in the riemannian case. Finally, we give some local analysis in the case of a regular 2-distribution in R3