Gravity waves in two-layer flows with free surface

par Ricardo Barros

Thèse de doctorat en Mathématiques et mathématiques appliquées

Sous la direction de Sergey Gavrilyuk.

Soutenue en 2007

à Aix-Marseille 3 .

  • Titre traduit

    Ondes de gravité dans un écoulement à deux couches et à surface libre


  • Résumé

    Nous étudions dans cette thèse la propagation des ondes dans un écoulement à deux couches et à surface libre. Deux classes de modèles sont considérées. Nous nous consacrons d'abord à la version à deux-couches du modèle de Saint-Venant. Ce modèle est strictement hyperbolique pour des faibles vitesses relatives. Il serait naturel de considérer ce système d'équations pour la description des sauts hydrauliques. Il s'avère que, comme pour la plupart des modèles décrivant des systèmes multi-vitesses, les équations ne sont pas présentées sous forme conservative. C'est pourquoi on a réalisé une étude sur le nombre de lois de conservation pour le système qui semble indiquer que celui-ci est en fait non-conservatif. Comme conséquence, on a l'impossibilité de présenter un ensemble complet de conditions de Rankine-Hugoniot permettant ainsi la caractérisation des solutions faibles dans le sens classique. Nous obtenons ensuite un modèle dispersif adapté à la description de la propagation des ondes de grande amplitude pour le même système physique. Ce modèle est une généralisation naturelle du modèle de Green-Naghdi et sa dérivation est basée sur le principe d'Hamilton. L'idée conduisant au résultat consiste en l'obtention d'un Lagrangien pour le modèle approché en introduisant directement les approximations dans le Lagrangien du modèle complet. Par conséquent, la structure variationnelle ainsi que les propriétés de symétrie correspondantes sont préservées. De plus, aucune restriction du type ondes de faible amplitude ou écoulement potentiel n'est ici considéré. Comme dans le cas des équations d'Euler complètes, ce modèle reproduit la résonance entre les ondes courtes et les ondes longues. Dans ce cadre on montre, par des calculs numériques, l'existence de trajectoires homoclines qui correspondent aux vraies ondes solitaires ayant les mêmes vitesses à l'infini dans chaque couche. L'étude de ces ondes se réduit à l'étude d'un système Hamiltonien à deux degrés de liberté. Les ondes progressives dépendent de trois paramètres: le rapport de densité des fluides, le rapport des épaisseurs de chaque couche et le nombre de Froude. Deux régimes caractérisés par l'élévation ou la dépression de l'interface entre deux couches sont présentés. Le rapport critique des épaisseurs des couches sépare ces deux régimes et il sera montré comment le relier aux changements de la structure pour le potentiel du système Hamiltonien. L'analyse du nombre et la nature des points d'équilibre se sont montrés décisives pour établir le résultat. On a constaté que leur nombre ne peut être que de quatre ou de deux, selon la vitesse de ces ondes (pour un rapport de densité des fluides et un rapport des épaisseurs fixés). Pour les paramètres qui correspondent aux conditions océaniques, on a observé l'existence des ondes solitaires et leur élargissement ("broadening") lorsque la vitesse de ces ondes tend vers une certaine valeur limite. Enfin nous considérons différents paramètres pour lesquelles des solutions avec plusieurs bosses ( "multi-humped shaped profile") existent, illustrant la richesse et la complexité du système considéré.


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    In this work we study the wave propagation in two-layer flows with free surface. Two distinct classes of models are contemplated. First, we consider the "two-layer" version of the shallow water equations (also known by Saint-Venant's equations). This model is strictly hyperbolic for small relative velocities. It would be natural to consider this model as suitable for the description of hydraulic jumps. However, like most of models describing multi-velocity flows, the system is not presented in conservative form. We present a survey on the number of conservation laws available for the multi-dimensional case that seems to imply that the system is truly nonconservative. Therefore, the impossibility of presenting a complete set of Rankine-Hugoniot conditions enabling the characterization of weak solutions in the classical way. Then, we obtain a dispersive model suited to the description of large amplitude waves propagating in the same physical system. The model is a "two-layer" generalization of the Green-Naghdi model and can be derived by applying Hamilton's principle to a Lagrangian that results from the insertion of approximations directly into the Lagrangian for the full waterwave problem. As a consequence, the variational structure of the original problem and the corresponding symmetry properties are preserved. In addition, it is a fully nonlinear model and deals with rotational flows. As in the case of the full problem, the present model captures the resonance between short waves and long waves. In this framework it is shown, by using numerical computations, the existence of homoclinic trajectories embedded into the continuous spectrum. These correspond to true solitary waves having the same velocities at infinity in each layer. Their study reduces to the analysis of a Hamiltonian system with two degrees of freedom. The traveling-wave solutions depend on three parameters : the density ratio, the depth ratio and the Froude number based on the bottom layer. Two wave regimes, characterized by the elevation or depression of the interface between the layers are presented. A critical depth ratio separates these two regimes and it will be shown how it relates to a change of the structure of the potential for the Hamiltonian system. The analysis of the number and nature of critical points turned out to be decisive in this work. It was found that the number of critical points can be four or two, depending on the value of the Froude number (for fixed density and depth ratios). For sets of parameters corresponding to oceanic conditions we have perceived the existence of true solitary waves and their broadening whenever the wave speed increases towards a limit value. Finally, other sets of parameters are considered for which multi-humped solitons exist, highlighting the richness and complexity of the system considered.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (x-[86] p.)
  • Annexes : Notes bibliogr.

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  • Bibliothèque : Université d'Aix-Marseille (Marseille. Saint-Jérôme). Service commun de la documentation. Bibliothèque de sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 200069186
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