Codes correcteurs d'erreurs construits à partir des variétés algébriques

par Frédéric Aka-Bilé Edoukou

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de François Rodier.


  • Résumé

    On étudie le code fonctionnel défini sur une variété algébrique X sur un corps fini, tout comme V. Goppa l'avait fait sur les courbes. La distance minimale de ce code est déterminée par le nombre de points rationnels de l'intersection de X avec toutes les hypersurfaces d'un certain degré. Dans le cas où X est une surface hermitienne non-dégénérée, A. B. S orensen a formulé dans sa thèse (1991) une conjecture, qui résolue, donne exactement la distance minimale de ce code. Dans cette thèse nous allons répondre à cette conjecture dans le cas des surfaces quadriques. En utilisant des résultats de géométrie finie nous donnerons aussi la distribution des poids du code associé. Nous étudierons aussi des codes fonctionnels d'odre 2 définis sur des surfaces quadriques et montrerons que pour ceux construits sur les surfaces quradriques elliptiques les paramètres en font d'eux de bons codes. Nous donnerons aussi les meilleures bornes possibles pour le nombre de points d'une section quadratique d'une variété quadrique, d'une variété hermitienne non-dégénérée en dimension 4 et proposerons une généralisation de la conjecture étudiée pour des variétés de dimension supérieure.

  • Titre traduit

    Error-correcting codes constructed from algebraic varieties


  • Résumé

    We study the functional code defined on a projective algebraic variety X on a finite field, as this has been done by V. Goppa on algebraic curves. The minimum distance of this code is determined by computing the number of rational points of the intersection of X with all the hypersurfaces of a given degree. In the case where X is a non-degenerate hermitian surface, A. B. Sorensen has formulated a conjecture in his Ph. D thesis (1991), which should give the exact value of the minimum distance of this code. In this thesis, we give a proof of Sorensen's conjecture for quadratic surfaces. By using some results of finite geometries we give the weight distribution associated to this code. We will study also the functional code of order 2 defined on quadratic surfaces and will show that for the ones built on elliptic quadratic surfaces according to their parameters, their are good codes. We will give the best upper bounds for the number of points of quadratic section of quadric varieties, and non-degenerate hermitian variety, in projective dimension 4. Finally we will propose a generalisation of the studied conjecture for higher dimensional varieties.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (94 p.)
  • Annexes : Bibliogr. en fin de chapitres

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  • Bibliothèque : Université Aix-Marseille (Marseille. Luminy). Service commun de la documentation. Bibliothèque de sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 45095
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