Estimation récursive de fonctionnelles

par Baba Thiam

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Abdelkader Mokkadem.

Soutenue en 2006

à Versailles-St Quentin en Yvelines .

  • Titre traduit

    Recursive estimation of functionals


  • Résumé

    L'objet de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique d'estimateurs à noyau d'une densité de probabilité et de ses dérivées, d'une fonction de régression, ainsi que du mode et de la valeur modale d'une densité de probabilité. Le but est d'établir certaines propriétés des estimateurs à noyau récursifs ou semi- récursifs afin de comparer leur comportement asymptotique à celui des estimateurs classiques. Dans le premier chapitre, nous établissons des principes de grandes déviations (PGD) et des prinCipes de déviations modérées (PDM) pour l'estimateur récursif d'une densité de probabilité et pour ses dérivées. Il s'avére que, dans les principes de déviations vérifiés par les estimateurs des dérivées, la fonction de taux est toujours une fonction quadratique, que les déviations soient grandes ou modérées. Contrairement, pour l'estimateur de la densité, les fonctions de taux qui apparaissent sont de nature différente selon que les déviations sont grandes ou modérées. Les fonctions de taux qui apparaissent tant dans les PGD pour les dérivées que dans les PDM pour la densité et pour les dérivées sont plus grandes dans le cas où l'estimateur récursif est utilisé. Dans le deuxième chapitre, nous établissons des PGD et des PDM pour des estimateurs à noyau d'une fonction de régression. Nous généralisons les résultats déjà obtenus dans le cas unidimensionnel pour l'estimateur de Nadaraya- Watson. Nous étudions ensuite le comportement en déviations de la version semi- récursive de cet estimateur en établissant des PGD et des PDM. Les fonctions de taux qui apparaissent dans les PDM sont plus grandes pour l'estimateur semi- récursif que pour l'estimateur classique. Dans le troisième chapitre, nous nous intéressons à l'estimation jointe du mode et de la valeur modale d'une densité de probabilité basée sur l'estimateur à noyau récursif de la densité. Nous étudions la vitesse de convergence en loi et presque sûre du couple formé par ces deux estimateurs. Pour estimer simultanément les deux paramètres de façon optimale, il faut utiliser des fenêtres différentes pour définir chacun des deux estimateurs. Les estimateurs semi- récursifs conduisent à des variances asvmototiaues olus petites aue les estimateurs classiaues.


  • Résumé

    The alm of thls thesls Is the study of the asymptotlc behavlour of the kernel estlmator of a probablllty denslty functlon and Its derivatlves, of a regresslon functlon, as weil as of the location and of the slze of the mode of a probabllity denslty. The goal Is to establlsh several properties of the recurslve or seml- recurslve kernel estlmators ln order to compare thelr asymptotlc behavlour wlth that of the classlcal estimators. Ln the flrst chapter, we establlsh a large devlatlons prlnclple (LDP) and a moderate devlatlons prlnclple (MDP) for the recurslve estlmator of a probabillty denslty and for its derlvatlves. It turns out that, ln the devlatlons princlples for the derlvatlves estlmators, the rate functlon Is always quadratlc, the deviatlons belng elther large or moderate. On the other hand, for the denslty estlmator, the rate functlon whlch appears Is of dlfferent nature accordlng to whether the devlatlons are large or moderate. The rate functions whlch appear ln the LDP for the derlvatlves and ln the MDP for the denslty and Its derivatlves are larger ln the case the recurslve estlmator is used. Ln the second chapter, we establlsh LDP and MDP for kernel estlmators of the regresslon. We generallze the results already obtalned ln the unidimenslonal case for the Nadaraya- Watson estlmator. We then study the behavlour ln devlatlons of the seml¬recurslve version of thls estlmator by establlshlng a LDP and MDP. The rate functlon which appears ln the MDP are larger for the semi- recurslve estlmator than for the classlcal estlmator. Ln the thlrd chapter, we are Interested Il'! the Joint estimation of the location and of the slze of the mode of a probabillty denslty based on the recursive kernel denslty estlmator. We study the weak and almost sure convergence rates of the couple formed by these two estlmators. To estlmate the two parameters slmultaneously ln an optimal way, It Is necessary to use dlfferent bandwldths to deflne each of the two estlmators. The seml- recurslve estlmators lead to asymptotlc variances smaller than the classlcal estlmators.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (124 f.)
  • Annexes : Notes bibliogr.

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  • Bibliothèque : Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines. Direction des Bibliothèques et de l'Information Scientifique et Technique-DBIST. Bibliothèque universitaire Sciences et techniques.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 519.54 THI
  • Bibliothèque : Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines. Direction des Bibliothèques et de l'Information Scientifique et Technique-DBIST. Bibliothèque universitaire Sciences et techniques.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : T060029
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