Analyse quasiconvexe et applications à l'optimisation

par Thi Hong Linh Nguyen

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Jean-Paul Penot.

Soutenue en 2006

à Pau .


  • Résumé

    La classe des fonctions convexes possède des propriétés remarquables et quasi-miraculeuses. Elle a donné naissance à une branche particulière de l'analyse, l'analyse convexe. Mais cette classe est trop restrictive pour certains besoins, comme ceux de l'économie mathématique. Cela a conduit à s'intéresser à des généralisations de la convexité comme la quasi-convexité et la pseudoconvexité. Les premières généralisations utilisaient des hypothèses de différentiabilité. Se plaçant dans le courant de l'analyse non lisse, ce travail se propose d'étudier ces généralisations sans faire de telles hypothèses. Deux types d'outils sont mis en jeu: d'une part, un substitut de la dérivée directionnelle et, d'autre part, un substitut de la dérivée. Pour ce dernier concept, nous adoptons une version très large qui englobe à la fois les sous-différentiels usuels de l'analyse non lisse et les pseudo-différentiels de Luc-Jeyakumar et al. D'autres choix sont aussi possibles. La classe des fonctions quasi-convexes étant très large et peu structurée, nous fixons notre attention sur des sous-classes particulières. Parmi celles-ci figurent la classe des fonctions pseudo-affines (appelées "pseudo-linéaires" dans la littérature) et les fonctions que nous appelons "colinvexes" car elles sont définies de manière similaire à la définition des fonctions invexes, mais avec un champ de vecteurs colinéaire à une translatée de l'application identique. Ces deux classes, bien que très particulières, contiennent des exemples intéressants, en particulier les fonctions s'écrivant comme un quotient de fonctions affines. Nous caractérisons ces classes de fonctions et nous établissons des liens entre ces classes et les classes plus classiques de fonctions pseudo-convexes et quasi-convexes. Nous donnons des extensions aux fonctions vectorielles et quelques propriétés de stabilité. Nous sommes alors en mesure d'appliquer ces concepts aux conditions d'optimalité. Une première approche impose une condition de compatibilité entre les sous-différentiels au sens de Gutiérrez et de Plastria et les cônes normaux aux sous-niveaux. Ces derniers constituent un outil naturel en analyse quasi-convexe, mais ils ne se rattachent pas nécessairement à des notions de sous-différentiels. D'où l'intérêt d'établir des liens entre ces notions. Ils nécessitent des hypothèses restrictives, certes; mais pour des fonctions lipschitziennes, ces hypothèses sont facilement satisfaites. De plus, par reparamétrisation, ou plutôt par composition avec des fonctions réelles croissantes d'une variable, on peut espérer les satisfaire. Pour des données colinvexes, les conditions suffisantes d'optimalité sont particulièrement aisées. On peut leur adjoindre des conditions nécessaires d'optimalité. Dans le cas de la programmation mathématique, on aboutit ainsi à des conditions du type Karush-Kuhn-Tucker. Enfin, nous menons une étude liant sous-différentiels et dualité. Il apparait que la définition générale d'un sous-différentiel lié à une dualité est souvent inappropriée. Il convient donc de lui substituer des notions plus adaptées. Nous apportons quelques propositions en ce sens.


  • Résumé

    In practical applications of optimization one often gets into the situation where the objective function to be minimized is nonsmooth and nonconvex but keeps some features of convexity. The purpose of this memoir is to study some concepts of generalized convexity, which have evolved from the traditional notion of quasiconvexity. Then, applying these classes to mathematical programming, we obtain optimality conditions of Karush-Kuhn-Tucker type. On the other hand, these classes of generalized convexity provide some new classes of generalized affine functions. In addition, since the data of the optimization problem are not necessarily smooth, we get some incentives to study some subdifferentials for generalized convex functions which are associated with quasiconvex dualities. In the first chapter, Plastria functions and Gutiérrez functions are introduced involving adapted subdifferentials of quasiconvex analysis, namely the Plastria subdifferential and the Gutiérrez subdifferential. We present some conditions ensuring that a function is a Plastria function or a Gutiérrez function. Then, we present some necessary and some sufficient optimality conditions for a mathematical programming problem involving such functions by using these subdifferentials. In the second chapter, we use a bifunction h as a substitute to a directional derivative to study some known classes of generalized convex functions. A new class of generalized affine functions, namely h-colinfine is introduced. Extensions to vector-valued maps of this class and of the above classes of generalized convex functions are introduced. The mutual relationships of these notions are studied and composition properties and characterizations are presented. Then, optimality conditions of Karush-Kuhn-Tucker type for mathematical programming problems are established when the data belong to the above mentioned classes. The third chapter presentsvarious generalizations of convexity, quasiconvexity as in the first section of the preceding chapter. But there, instead of using a generalized directional derivative, we utilize a substitute of the derivative we call a generalized differential. We study the links with the classical classes using either the subdifferentials of nonsmooth analysis or generalized pseudo-differentials. We also detect relationships with the concepts of the preceding chapter. In the second half of this chapter, the classes under study are applied to express necessary and sufficient optimality conditions for constrained optimization problems. The fourth chapter is focussed on some classes of generalized affine functions, using a generalized differential and the concepts of generalized convexity in the preceding chapter. We endeavour to get characterizations in such a nonsmooth framework which extend the known ones in the smooth case. Then, we devise some characterizations of solution sets of optimization problems involving such functions. We give some attention to conditions ensuring that the multipliers are the same for all the solutions as it is the case in convex programming. The last chapter is devoted to some subdifferentials for generalized convex functions which are connected with known conjugacies. We also investigate some optimality conditions for constrained problems and the related dual problems.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (83 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliographie

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Pau et des Pays de l'Adour. Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : US 459930
  • Bibliothèque : Université de Pau et des Pays de l'Adour. Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.