Le profil isopérimétrique d'une variété riemannienne compacte pour les petits volumes

par Stéfano Nardulli

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Pierre Pansu.


  • Résumé

    Cette thèse porte sur une question de calcul des variations motivée par la géométrie riemannienne, le problème isopérimétrique. On montre que les solutions du probème isopérimétrique proches en norme flat d’une sous-variété lisse sont elle-meˆmes lisses et C2,-proches de la sous-variéte donnée. En particulier, les solutions du problème isopérimétrique pour les petits volumes sont C2,-proches de petites sphères. Par ailleurs, on définit une classe de sous-variétés appelées pseudo-bulles, définies par une équation plus faible que la constance de la courbure moyenne. On montre qu’au voisinage de chaque point d’une variété riemannienne compacte, nait une unique famille de pseudo-bulles concentriques, conte- nant toutes les pseudo-bulles C2,-proches de petites sphères. Cela permet de ramener le problème isopérimétrique pour les petits volumes à un problème variationnel en dimension finie. En particulier, lorsque les maxima de la courbure scalaire sont non dégénérés, le problème isopérimétrique se ramène à un problème d’optimisation sur un ensemble fini. Les techniques utilisées sont, outre les outils standard d’analyse linéaire elliptique et les théorèmes de comparaison de la géométrie riemannienne, – le théorème de compacité des courants en norme flat, – le théorème de régularité d’Allard pour les varifolds minimisantes, - la caractérisation par Taylor des courants solutions du problème isopérimétrique euclidien, – le théorème de plongement isométrique de Nash et une version à paramètres du à Gromov.

  • Titre traduit

    The @isoperimetric profile of a compact riemannian manifold for small volumes


  • Résumé

    In this thesis we consider a question in the calculus of variations motivated by riemannian geometry, the isoperimetric problem. We show that solutions to the isoperimetric problem, close in the flat norm to a smooth submani- fold, are themselves smooth and C2,-close to the given sub manifold. In particular, the solutions of the isoperimetric problem for small volumes are C2,-close to small spheres. On the way, we define a class of submanifolds called pseudo balls, defined by an equation weaker than constancy of mean curvature. We show that in a neighborhood of each point of a compact rie- mannian manifold, there is a unique family concentric pseudo balls which contains all the pseudo balls C2,-close to small spheres. This permit us to reduce the isoperimetric problem for small volumes to a variational problem in finite dimension. In particular, when the maxima of the scalar curvature function are non degenerate the isoperimetric reduces to a problem of opti- mum on a finite set. The techniques used are, among other, les outils standard of linear elliptic analysis and comparison theorems of riemannian geometry, 1. Compactness theorems for currents in flat norm, 2. Allard’s regularity theorem for minimizing varifolds, 3. Jean Taylor’s caracterization for currents that are solution of the eucli- dean isoperimetric problem, 4. The isometric immersion theorem of Nash and a parametric version due to Gromov.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (85 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 84-85

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 0g ORSAY(2006)344
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