Quelques équations et systèmes d'équations de Schrödinger non linéaires

par Olivier Bouchel

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean-Claude Saut.


  • Résumé

    Ce mémoire de thèse étudie quelques équations et systèmes d'équations de Schrödinger non linéaires. L'équation de Schrödingernon linéaire est un des modèles les plus importants dans la description des phénomènes de l'optique non linéaire, de la superfluiditéou de la supraconductivité. Une formulation plus précise de l'équation de Schrödinger non linéaire dérivée des équations de laphysique fait apparaître un terme de dispersion d'ordre quatre anisotrope en temps supplémentaire : dans les premier et cinquième chapitres, nous avons étudié pour cette équation les problèmes de Cauchy dans les espaces ad hoc, ainsi que l'existence et les propriétés qualitatives de ses ondes solitaires, les questions de stabilité et de blow up, tant d'un point de vue théorique que numérique. Dans le troisième chapitre, sur l'exemple d'un système d'équations de Schrödinger non linéaires couplées intervenant en optique non linéaire, nous nous sommes intéressés à l'existence d'ondes solitaires, ainsi qu'à leurs propriétés de symétrie. Dans les deuxième et quatrième chapitres, nous avons envisagé le cas de conditions non nulles à l'infini pour l'équation deSchrödinger non linéaire : nous avons considéré cette problématique, qui intervient naturellement dans la théorie de la condensationde Bose-Einstein, à travers l'exemple du comportement asymptotique d'un système de Gross-Pitaevskii-Schrödinger, puis del'existence des bulles instationnaires en dimensions deux et trois.

  • Titre traduit

    A few nonlinear Schrödinger equations and systems


  • Résumé

    This PhD thesis is devoted to a few nonlinear Schrödinger equations and systems. The nonlinear Schrödinger equation is one of themost important models in the description of phenomena in nonlinear optics, in superfluidity or in supra-conductivity. Deriving fromphysics equations one more accurate form of the nonlinear Schrödinger equation, we get one additional fourth order anisotropic dispersion term in the time variable : in the first and in the fifth sections, we study for this equation the Cauchy problems in suitable spaces, the existence and qualitative properties of its solitary waves, stability and blowup issues, theoretically as well as numerically. In the third section, considering the example of one system of coupled nonlinear Schrödinger equations arising in nonlinear optics, we investigate the existence of solitary waves and their symmetry properties. In the second and fourth sections, non zero boundary conditions in some nonlinear Schrödinger equations are required : this issue,which appears naturally in the Bose Einstein condensation theory, is illustrated with the study of the asymptotic behaviour of oneGross-Pitaevskii-Schrödinger system, and of the existence of nonstationary bubbles in dimensions two and three.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (144 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. [141]-144

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 0g ORSAY(2006)243
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : BOUC
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.