Propriétés combinatoires et arithmétiques de certaines suites automatiques et substitutives

par Julien Albert

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Jean-Paul Allouche.

Soutenue en 2006

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des Sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .


  • Résumé

    Nous étudions les liens existant entre la combinatoire de l'écriture d'un réel (en base entière ou sous la forme d'une fraction continue) et son caractère algébrique ou transcendant (une conjecture de Borel prévoit que tout irrationnel algébrique est un nombre absolument normal : ses écritures en bases entières ont la même propriété que celle d'une suite aléatoire de chiffres). Nous commençons par rappeler le théorème de Ferenczi-Mauduit (traduction combinatoire du théorème de Ridout), amélioré en 2004 par Adamczewski, Bugeaud et Luca en adaptant celui du sous-espace de Schmidt et prouvant qu'un irrationnel algébrique ne peut avoir une complexité à croissance linéaire. Dans le cas d'une suite substitutive, nous établissons que cette borne peut être améliorée : tout irrationnel substitutif dont la complexité est de l'ordre de nlog(n) est transcendant (en réalité, notre résultat couvre le cas de certains réels substitutifs de complexité quadratique). Notre condition porte sur la croissance des tailles des itérations successives de la première lettre sous l'action de la substitution. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons aux cas problématiques : les réels dont le développement b-adique est le point fixe d'une substitution à croissance polynomiale. Nous montrons qu'il n'est pas possible d'appliquer le théorème d'Adamczewski-Bugeaud-Luca aux multiples rationnels du réel considéré et obtenons un résultat similaire dans le cas d'une écriture en fraction continue du réel, grâce à l'algorithme de Raney (programmé en langage Maple) permettant de passer de la fraction continue d'un réél à celle de son image par une homographie rationnelle.

  • Titre traduit

    Combinatorial and arithmetic properties of automatic and morphic real numbers


  • Résumé

    This thesis studies links between the combinatorial properties of the base-b expansion or of the continued fraction expansion of a given real number and the fact that this real number is algebraic or transcendental (a conjecture of Borel predicts that every irrational algebraic is an absolutely normal number: its base-b expansions have the properties of a random sequence). We begin with recalling the Ferenczi-Mauduit theorem (combinatorial translation of the Ridout theorem). In 2004, Adamczewski, Bugeaud and Luca appreciably improved this theorem by adapting the Schmidt subspace theorem, proving that irrational algebraics cannot have a complexity with linear growth. In the case of a morphic real number, we establish that this result can be improved and we show that all morphic numbers whose complexity is less than nlog(n) are rational or transcendental. Actually, our result covers even the case of certain morphic numbers with a quadratic complexity. Our condition relates to the growth of the sequence of the sizes of the successive iterations of the first letter under the action of the substitution. Then, this thesis deals with the problematic cases of real numbers x whose base-b expansion is a fixed point of a substitution with polynomial growth. We show that it is still not possible to apply the theorem of Adamczewski-Bugeaud-Luca to rational multiples of the real x. We obtain a similar result when the continued fraction of x is the fixed point of a substitution with polynomial growth, in particular thanks to the algorithm of Raney (which we programmed in Maple language) for computing the continued fraction of a real number x of the image by a rational homography.

Autre version

Cette thèse a donné lieu à une publication en 2013 par [CCSD] [diffusion/distribution] à Villeurbanne

Propriétés combinatoires et arithmétiques de certaines suites automatiques et substitutives

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Informations

  • Détails : 1 vol. (115 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. [109]-[111]. Index

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 0g ORSAY(2006)176
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