Méthodes d'ondelettes en statistique des signaux temporels uni et multivariés

Statistical wavelet methods for univariate and multivariate signals

• Auteur / Autrice : Mina Aminghafari
• Direction : Jean-Michel Poggi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Résumé

Cette thèse se situe dans le domaine de la statistique et porte, pour l'essentiel, sur les applications des ondelettes pour le traitement des signaux temporels univariés et multivariés. Dans une première partie, nous nous intéressons à une extension au cas multivarié, des procédures de débruitage par ondelettes, bien connues pour les signaux unidimensionnels. Cette nouvelle procédure combine l'analyse en composantes principales avec une généralisation directe au cas dimensionnel d'une stratégie classique de bruitage 1-D. L'idée est de changer de base en diagonalisant un estimateur robuste de la covariance du bruit, afin de décorréler les composantes du bruit affectant les signaux puis d'appliquer un débruitage univarié par ondelettes classique avant de faire une ACP sur les signaux simplifiés ainsi reconstitués ou sur les coefficients d'approximation. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons particulièrement au problème de la prévision d'une série unidimensionnelle stationnaire ou non, à l'aide de la transformée en ondelettes non-décimée. Il s'agit de généraliser une procédure dont le principe est de sélectionner des coefficients d'ondelettes construits à partir des observations du passé puis d'estimer directement l'équation de prévision par la régression du processus sur les coefficients d'ondelettes du passé. Ce schéma est étendu à une ondelette orthogonale quelconque, à la prise en compte d'une composante non-stationnaire et de nombreuses variantes sont étudiées. Une dernière partie porte sur un thème un peu différent des autres, puisque les ondelettes n'y jouent pas un rôle prépondérant. Elle consiste à une approche bayésienne pour choisir une loi a priori et on peut la considérer comme une alternative aux proches paramétriques de la méthode de Bayes empirique pour le choix de l'a priori. Cette méthode peut s'appliquer au choix de la densitéa prior des coefficients d'ondelettes dans les méthodes de seuillage.

This thesis takes place in statistics and deals with the applications of wavelets to the univariate and multivariate signals. The first part is devoted to a multivariate extension of the well known wavelet denoising procedure widely examined for scalar valued signals. It combines a straightforward multivariate generalization of a classical one and principal component analysis. This new procedure exhibits promising behavior on classical bench signals and the associated estimator is found to be near minimax in the one-dimensional sense, for Besov balls. The method is finally illustrated by an application to multichannel neural recordings. The second part is devoted to the forecasting problem of a stationary or non-stationary one dimensional time series, using non-decimated wavelet transform. A new proposal method to prediction stationary data and stationary data contaminated by additive trend is proposed. It consists of generalizing a procedure whose idea is to select the wavelet coefficients built from the past observations then to directly estimate the forecasting equation by the regression of the process on the past wavelet coefficients. This scheme is extended to an arbitrary orthogonal wavelet and to the introduction a non-stationary component. The third part relates to a topic a little bit different from the others. We introduce a method for prior selection. This method can be considered as an alternative approach to the parametric empirical Bayes method for priorselection and can then be applied to the choice of threshold in the denoising procedure using wavelets.