Applications d'inégalités fonctionnelles à la mécanique statistique et au recuit simulé

par Pierre-André Zitt

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Patrick Cattiaux.

Soutenue en 2006

à Paris 10 .


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous utilisons différentes inégalités fonctionnelles (Poincaré, Sobolev logarithmique, etc. ) pour étudier deux questions. Nous appliquons d'abord des inégalités affaiblies à l'étude d'une diffusion inhomogène, analogue continu de l'algorithme de recuit simulé, dans la lignée d'un travail de L. Miclo. Nous montrons un résultat de convergence de la diffusion, sous des hypothèses plus faibles que celles posées précédemment le potentiel dans lequel la diffusion évolue peut croître très lentement à l'infini. Dans le cadre d'un modèle de mécanique statistique à spins non-bornés, en nous basant sur résultats de T. Bodineau et B. Helffer, N. Yoshida et G. Royer, nous éclaircissons ensuite les liens entre différentes inégalités fonctionnelles, des propriétés de mélange et l'unicité de la mesure de Gibbs en volume infini. Nous montrons en particulier l'unicité si les mesures en volume fini et pour une seule condition aux bords vérifient uniformément une inégalité de Beckner.

  • Titre traduit

    Applications of functional inequalities to simulated annealing and statistical mechanics


  • Résumé

    In this work, we apply several functional inequalities (Poincaré, logarithmic Sobolev etc. ) to solve two problems. First, we study an inhomogeneous diffusion, akin to the discrete simulated annealing algorithm, in the spirit of a paper by L. Miclo. We show that this diffusion converges under weaker hypotheses thon what was assumed in previous work. In particular, the potential governing the drift is allowed to grow very slowly at infinity. In a second part, we turn to a model of statistical mechanics with unbounded spins, recently studied by T. Bodineau and B. Helffer, N. Yoshida and G. Royer (among others). We clarify links between mixing properties, uniqueness of the Gibbs measure, and functional inequalities. We show in particular that the infinite volume tempered Gibbs measure is unique, provided that the finite volume measures for one boundary condition satisfy a Beckner inequality.

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  • Détails : 1 vol. (144 f.)
  • Annexes : Bibliogr. f. 138-144

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  • Cote : T 06 PA10-126

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