Etude de la stabilité des petites solutions stationnaires pour une classe d'équations de Dirac non linéaires

par Nabile Boussaid

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Eric Séré.

Soutenue en 2006

à l'Université Paris-Dauphine .


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilité de petits états stationnaires d'une équation d'évolution non linéaire issue de la mécanique quantique relativiste : l'équation de Dirac non linéaire. Tout le long de notre étude, les équations non linéaires sont vues comme des petites perturbations non linéaires de systèmes linéaires. Une partie de cette thèse est donc consacrée à l'étude de problèmes linéaires. Nous montrons que, pour un opérateur de Dirac n'ayant pas de résonance aux seuils ni de valeur propre aux seuils, le propagateur vérifie des estimations de propagation et de dispersion. Nous en déduisons également des estimations de régularité au sens de Kato et des estimations de Strichartz. En faisant des hypothèses ad hoc sur le spectre discret d'un opérateur de Dirac, nous construisons des petites variétés formées d'états stationnaires. Puis en faisant varier ces hypothèses, nous faisons apparaître des phénomènes de stabilisation et d'instabilité orbitale pour certains de ces états. Nonlinear

  • Titre traduit

    ˜A œstudy of the stability of small stationary solutions of a class of nonlinear Dirac equations


  • Résumé

    This thesis is devoted to the study of the stability of small stationary solutions of a nonlinear time dependent equation coming from relativistic quantum mechanics: the nonlinear Dirac equation. In this study, non linear equations are viewed as small nonlinear perturbations of linear systems. A part of this thesis is hence devoted to the study of linear problems. We prove that for a Dirac operator, with no resonance at thresholds nor eigenvalue at thresholds, the propagator satisfies propagation and dispersive estimates. We also deduce smoothness estimates in the sense of Kato and Strichartz estimates. With some ad hoc assumptions on the discrete spectrum of a Dirac operator, we build small manifolds of stationary states. Then with small variations on these assumptions, we can highlight some stabilization process and orbital instability phenomena for some stationary states.

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Informations

  • Détails : 1 vol. ([164p.])
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : bibliogr.p.159-[164].Index

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