Polymères dirigés en milieu aléatoire et champs multifractaux

par Vincent Vargas

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Francis Comets.

Soutenue en 2006

à Paris 7 .


  • Résumé

    Ce travail est composé de quatre chapitres. Les trois premiers sont consacrés à l'étude des polymères dirigés en milieu aléatoire (un modèle introduit par Huse et Henley en 1985) et le quatrième à la construction de champs multifractaux qui vérifient les lois empiriques d'un champ de vitesse turbulent. Dans le premier chapitre, on redémontre un théorème limite locale établi par Sinai dans le régime de haute température lorsque la dimension est plus grande que 3. La méthode de preuve est utilisée pour démontrer un résultat similaire pour un modèle continu de polymères. Dans le deuxième chapitre, écrit en collaboration avec Francis Comets, on compare l'énergie libre des polymères avec celle de cascades multiplicatives. Cela nous permet d' une part de montrer qu'en dimension 1 l'énergie libre est strictement inférieure à sa borne annealed et d'autre part d'obtenir une formule variationnelle pour l'énergie libre lorsque l'environnement est gaussien ou borné. Dans le troisième chapitre, on travaille sous des hypothèses faibles sur l'environnement (du type existence de certains moments). Dans ce cadre, on établit l'existence de l'énergie libre et on étudie le phénomène de localisation en terme de point préféré mais aussi en terme d'epsilon-atomes (des points macroscopiques du point de vue de la mesure de polymère). Enfin, dans le quatrième chapitre, écrit en collaboration avec J. Duchon et R. Robert, on construit des familles de champs multifractaux homogènes, isotropes et à accroissements dissymétriques. On illustre leur intérêt dans le cadre de la modélisation d'un champ de vitesse turbulent.

  • Titre traduit

    Directed polymers in random media and multifractal fields


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    This work contains four chapters. The first three are devoted to the study of directed polymers in random media (a model introduced by Huse and Henley in 1985) and the fourth to the construction of multifractal random fields that satisfy the empirical laws of fully developed turbulence. In the first chapter, we give a new proof of a local limit theorem established by Sinai at high temperature and in dimension greater or equal to 3. The method of proof is used to establish a similar theorem for a continuous model of polymers. In the second chapter, based on joint work with F. Comets, we compare the free energy of the polymer model with the one of multiplicative cascades. This enables us on the one hand to show that in dimension 1 the free energy is less than the annealed bound and on the other one to get a variationnal formula for the free energy when the environment is gaussian or bounded. Ln thé third chapter, we work under weak assumptions on the environment (existence of certain moments). In this framework, we establish thé existence of the free energy and study the localization phenomenom in terms of thé favorite point but also in terms of epsilon-atoms (macroscopic points of the polymer measure). Finally, in the fourth chapter, based on joint work with J. Duchon and R. Robert, we construct families of homogeneous and isotropic multifractal fields with nonsymetrical increments. We discuss their use to model the velocity field in fully developed turbulence.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (106 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : 58 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2006) 019
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