Méthodes de type Galerkin discontinu pour la résolution numérique des équations de Maxwell 3D en régime harmonique

par Hugo Fol

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Stéphane Lanteri.


  • Résumé

    L’objectif général de cette étude est le développement et l’évaluation de méthodes de type Galerkin dicontinu (GD) en maillages tétraédriques non-structurés pour la résolution numérique des équations de Maxwell en formulation du premier ordre et en régime harmonique. Dans la première partie de cette thèse, nous formulons et analysons des méthodes Galerkin discontinu basées sur des approximations centrées d’ordre 0 (méthode de volumes finis ou GD-PO) et d’ordre 1 (méthode de type Galerkin dicontinu linéaire ou PD-P1). La seconde partie est consacrée à l’étude de méthodes de décomposition de domaine pour la résolution des systèmes algébriques issus de la discrétisation par des méthodes GD des équations de Maxwell en régime harmonique. On considère tout d’abord le système continu et on analyse la convergence d’algorithmes de Schwarz sans ou avec recouvrement basés sur des conditions d’interface naturelles. Ces conditions consistent à imposer aux interfaces les variables caractéristiques associées aux ondes entrantes dans un domaine. On s’intéresse ensuite à la convergence de ces algorithmes dans le cas discret sur la base de la méthode d’approximation volume fini (méthode GD P0) formulée sur un maillage quadrangulaire. On étudie enfin des conditions d’interface optimisées ayant pour but d’accélérer la convergence de l’algorithme de Schwarz sans recouvrement. Des tests préliminaires en 2D permettent de montrer clairement les gains résultant de l’utilisation de ces conditions. La troisième partie de la thèse est dédiée à l’évaluation numérique des méthodes d’approximation G-P0 et GD-P1 en maillages tétraédriques. On considère pour cela une série de cas tests de complexité croissante pourtant sur des problèmes de diffraction en milieux homogènes et hétérogènes. En particulier, on évalue en détail les performances parallèles d’un algorithme de Schwarz avec recouvrement basé sur des conditions d’interface naturelles. On présente notamment les résultats de calculs portant sur plusieurs millions d’inconnues.

  • Titre traduit

    Discontinuous Galerkin methods for the numerical resolution of the 3D frequency domain Maxwell


  • Résumé

    The general objective of this study is the development and the evaluation of discontinuous Galerkin (DG) methods on unstructured tetrahedral meshes for the numerical resolution of the first order system of 3D Maxwell equations in the frequency domain. In the first part of this thesis, we formulate and analyze centred DG methods based on a P0 local approximation (i. E. Finite volumes or DG-P0 method) and a P1 local approximation (i. E. Linear discontinuous Galerkin or DG-P1 method). The second part is devoted to the design of domain decomposition methods for the solution of the algebraic systems associated to DG methods for the discretization of the time-harmonic Maxwell equations. We first consider the system of Maxwell equations in the continuous case and study the convergence of overlapping and non-overlapping Schwarz algorithms based on a first order (natural) interface condition that corresponds to a Dirichlet condition for characteristic variables associated to incoming waves. We then conduct a convergence analysis in the discrete case corresponding to the finite volume formulation (DG-P0 method) on a quadrilateral mesh. Finally, we study optimized interface conditions in order to accelerate the convergence of the non-overlapping Schwarz algorithm. Preliminary tests in 2D illustrate the performance gains resulting from the use of optimised interface conditions. The third part of the thesis is concerned with a numerical evaluation of the DG-P0 et DG-P1 formulations on tetrahedral meshes. We make use of a series of test cases of increasing complexity dealing with diffraction problems in homogeneous and heterogeneous media. We conduct a detailed analysis of the parallel performances of an overlapping Schwarz algorithm based on natural interface condition. We present results of numerical simulations involving several million unknowns.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (208 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 203-208. Résumés en français et en anglais

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Nice Sophia Antipolis. Service commun de la documentation. Bibliothèque Sciences.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : 06NICE4069
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