Propriétés multiplicatives d'entiers soumis à des conditions digitales

par Sylvain Col

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Joe͏̈l Rivat et de Cécile Dartyge.

Soutenue en 2006

à Nancy 1 .


  • Résumé

    Pour une base fixée, les entiers ellipséphiques (c'est-à-dire les entiers dont l'écriture n'utilise que certains chiffres) et les palindromes forment des sous ensembles éparses des entiers, ensembles définis par des conditions digitales. Nous étudions si ces ensembles ont des propriétés multiplicatives similaires à celles des entiers. Nous évaluons d'abord les grands moments de la série génératrice des entiers ellipséphiques. Comme application, nous en déduisons l'existence d'un 0 < c < 1 tel que pour tout entier k, une infinité d'entiers ellipséphiques n possédant un diviseur p^k de l’ordre de n^c, p désignant un nombre premier. De plus, le nombre de tels entiers est de l'ordre de grandeur attendu. Nous établissons ensuite un résultat de crible où les modules possédant un nombre anormalement grand de diviseurs sont écartés du terme d'erreur. Nous en déduisons l'existence d'une proportion positive d’entiers ellipséphiques friables c'est-à-dire possédant tous leurs facteurs premiers majorés par n^c, pour une constante c < 1 fixée. Nous montrons enfin à l'aide de techniques élémentaires comment réduire l'étude de la série génératrice des palindromes à une série proche de celle des entiers ellipséphiques ce qui permet d'étudier la répartition des palindromes dans les progressions arithmétiques et ainsi d'obtenir une majoration de l'ordre de grandeur attendu du nombre de palindromes premiers. Nous en déduisons en particulier l'existence d'une infinité de palindromes possédant en base 10 au plus 372 facteurs premiers (comptés avec multiplicité).

  • Titre traduit

    On the multiplicative properties of integers subject to constraints in their numerical expression


  • Résumé

    Numbers with missing digits and palindromic numbers (with respect to a fixed basis) are subset of the integers. This subsets are defined by digital conditions and are scattered. We study if this sets have multiplicative properties similar to those of the integers. Firstly, we evaluate the high moments of the generating series of numbers with missing digits. As a application, we show that there is a 0 < c < 1 such that for all integer k, the integers n with missing digits which have a factor p^k with p^k~n^c and p a prime, are innumerable. Moreover the number of such integers has the expected size. Secondly, we establish a result of sieve where the modules with an abnormally large number of divisors are expelled of the error term. We deduce consequently the existence of a positive proportion of numbers with missing digits which have no large prime factors. Thirdly, using elementary methods, we show how to reduce the study of the generating series of the palindromes to a series close to that of the numbers with missing digits. This makes possible to study their repartition in the arithmetical progressions and thus to obtain an upper bound for the palindromic primes. We deduce in particular that the palindromes with at most 372 prime factors in basis 10 are endless.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (123 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 121-123

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  • Bibliothèque : Université de Lorraine (Villers-lès-Nancy, Meurthe-et-Moselle). Direction de la Documentation et de l'Edition - BU Sciences et Techniques.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : SC N2006 221
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