Méthodes spinorielles et géométrie para-complexe et para-quaternionique en théorie des sous-variétés

par Marie-Amélie Paillusseau-Lawn

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Vicente Cortés et de Werner Ballmann.


  • Résumé

    Ce travail est relatif à la théorie des immersions et utilise des méthodes issues de la géométrie spinorielle, para-complexe et para-quaternionique. Les deux premières parties sont consacrées aux immersions conformes de surfaces pseudo-Riemanniennes. D'une part, nous étudions ce type d'immersions dans l'espace pseudo-Euclidien de dimension trois. Avec des méthodes de géométrie para-complexe et des représentations spinorielles réelles, l'équivalence entre les données d'une immersion conforme d'une surface de Lorentz dans R2,1 et de spineurs satisfaisant une équation de type Dirac est prouvée. D'autre part nous considérons des surfaces de Lorentz dans la pseudo-sphère S2,2: une bijection entre ces immersions et des sous-fibrés en droite para-quaternioniques du fibré M X H2 est établie. Considérant une structure (para-)complexe particulière de ce fibré, la congruence pseudo-sphérique, et les champs de Hopf para-quaternioniques, nous définissons la fonctionnelle de Willmore de la surface et exprimons son énergie comme la somme de cette fonctionnelle et d'un invariant topologique. La dernière partie, plus générale, traite des fibrés vectoriels et immersions affines para-complexes. Nous introduisons la notion de fibré vectoriel para-holomorphe, et les sous-fibrés para-holomorphes et de type (1,1) en termes de connections associées induites et de secondes formes fondamentales. Les équations fondamentales pour des décompositions générales de fibrés vectoriels munis d'une connexion sont étudiées dans le cas où certains des fibrés sont para-holomorphes afin d'obtenir des théorèmes d'existence et d'unicité pour des immersions affines para-complexes.

  • Titre traduit

    Spinorial methods, para-complex and para-quaternionic geometry in the theory of submanifolds


  • Résumé

    This thesis is devoted to the theory of immersions, using methods of spin geometry, para-complex and para-quaternionic geometry. It is subdivided into three different topics. The first two are related to the study of conformal immersions of pseudo-Riemannian surfaces. On the one hand we study the immersion into three-dimensional pseudo-Euclidean spaces: with the methods of para-complex geometry and using real spinor representations, we prove the equivalence between the data of a conformal immersion of a Lorentzian surface in R2,1 and spinors satisfying a Dirac-type equation. On the other hand, we consider immersions of such surfaces into the four-dimensional pseudo-sphere S2,2: a one-to-one correspondence between such immersions and para-quaternionic line subbundles of the trivial bundle M X H2 is given. Considering a particular (para-)complex structure on this bundle, namely the mean curvature pseudo-sphere congruence, and the para-quaternionic Hopf fields of the immersion, we define the Willmore functional of the surface and can express its energy as the sum of this functional and of a topological invariant. The last topic is more general and deals with para-complex vector bundles and para-complex affine immersions. We introduce para-holomorphic vector bundles and characterize para-holomorphic subbundles and subbundles of type (1,1) in terms of the associated induced connections and second fundamental forms. The fundamental equations for general decompositions of vector bundles with connection are studied in the case where some of the (sub)bundle are para-holomorphic in order to prove existence and uniqueness theorems of para-complex affine immersions.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (115 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 111-114

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Lorraine (Villers-lès-Nancy, Meurthe-et-Moselle). Direction de la Documentation et de l'Edition - BU Sciences et Techniques.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : SC N2006 182
  • Bibliothèque : Université de Lorraine. Bibliothèque de mathématiques de l'Institut Elie Cartan de Lorraine.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : Th PAILLUSSEAU m
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