Méthodes d'approximation par éléments finis et analyse a posteriori d'inéquations variationnelles modélisant des problèmes de fissures en élasticité linéaire

par Souad Tahir

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Zakaria Belhachmi.

Soutenue en 2006

à Metz .


  • Résumé

    L'objet de ce travail de thèse est l'analyse mathématique et numérique de problèmes d'élasticité linéarisée posés dans des domaines comportant des fissures et issus de la mécanique de contact. Les conditions aux limites sur les fissures sont de type contact unilatéral. Du point de vue mathématique, les problèmes sont formulés dans le cadre de la théorie des inéquations variationnelles. Nous nous sommes intéressés à décrire et étudier des formulations qui prennent en compte les conditions de contact mais, et c'est là l'originalité de ce travail, qui prennent en compte aussi la géométrie, c'est-à-dire, les fissures. Le mémoire de thèse se divise en deux parties. La première porte sur une formulation dite de domaine régulier qui consiste à étendre les équations au domaine entier sans se préoccuper de la fissure en tant qu'objet géométrique. Les conditions de contact sur la(es) fissures sont alors pris en compte dans la formulation par le biais des espaces fonctionnels. Nous effectuons l'analyse mathématique de cette formulation et nous introduisons deux discrétisations par la méthode des éléments finis. La première discrétisation est écrite pour la formulation du problème d'élasticité avec symétrie du tenseur des contraintes, alors que la seconde discrétisation est basée sur une formulation de Hellinger-Reissner modifiée sans symétrie du tenseur des contraintes. Pour chacune des deux discrétisations, nous introduisons les éléments finis appropriés. Nous effectuons l'analyse d'erreur et nous obtenons les vitesses de convergence optimales pour ce type d'inéquations variationnelles. Nous présentons aussi la mise en œuvre de chaque cas et nous donnons des résultats numériques qui confirment les résultats théoriques. La deuxième partie est dédiée à la méthode de domaines fictifs pour des inéquations variationnelles. Nous considérons le cas du problème de Signorini pour le système d'élasticité là aussi il s'agit d'étudier une méthode nouvelle. Nous effectuons l'analyse numérique aussi bien l'analyse a priori et résultats de convergence que l'analyse a posteriori. Nous introduisons de nouveaux outils d'analyse a posteriori qui sont des indicateurs d'erreur par résidu et nous montrons leur optimalité par rapport au pas de discrétisation. Nous nous en servons pour une stratégie de discrétisation qui est à la fois adaptative et aussi multi-étape. Nous effectuons la mise en œuvre de la méthode et donnons quelques résultats numériques.

  • Titre traduit

    Methods of approximation by finite elements and a posteriori analysis of some variational inequalities arising in elasticity problems in domains with cracks


  • Résumé

    In this PHD-Thesis, we perform the mathematical and the numerical analysis of models in the linearized elasticity for cracked materials arising in the mechanics of contact. The boundary conditions on the cracks faces are of unilateral contact type. From the mathematical point of view, such problems are formulated within the framework of the theory of the variational inequalities. We describe and study formulations which take into account the boundary conditions of the contact and, this the novelty in this work, which also take into account the geometry. The report of the dissertation is divided into two parts. The first part concerns a formulation known as ``a regular domain formulation ». It consists in extending the equations to the entire domain including the cracks. The conditions of contact on the crack are taken into account in the functional spaces. We carry out the mathematical analysis of this formulation and we consider two discretizations by the finite element method. The first discretization is written for the formulation with symmetry of the stress tensor, whereas the second discretization is based on a modified Hellinger-Reissner formulation with broken symmetry (of the stress tensor). For each discretization, we introduce the suitable finite elements. We obtain obtain optimal convergence rates for this type of variational inequalities. We explain the implementation and we give numerical results which confirm the theoretical results. The second part is dedicated to a fictitious domain method for such variational inequalities. We consider the case of the frictionless Signorini problem for the elasticity system. We carry out the numerical analysis to obtain optimal a priori estimates and results of convergence with respect to the discretization parameter. We also perform the a posteriori analysis by residual error estimates. We introduce new tools for such an analysis which are residual error indicators and we show their optimality with respect to the step size of discretization and their efficiency. These tools allow us to define an adaptive strategy to solve such problems. The adptivity in this context is in fact a multi-step strategy where the initial problem is first "approximated in the infinite dimensional setting" before the discretization. The implementation details and some numerical results are given.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (171 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 165

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