Opérateurs différentiels invariants sur des espaces homogènes : régles de branchement et applications géométriques et analytiques

par Majdi Ben Halima

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Tilman Wurzbacher.

Soutenue en 2006

à Metz .


  • Résumé

    Dans la première partie de cette thèse, on commence par étudier les règles de branchement de U(n+m) à U(n) x U(m), de SU(n+m) à S(U(n) x U(m)), et de SU(n+m) à SU(n) x SU(m). Par suite, on donne des applications de ces règles au calcul des spectres de certains opérateurs différentiels invariants sur des grassmanniennes complexes. Plus précisément, on détermine les spectres du laplacien de Hodge, laplacien de Bochner et opérateur de Dirac sur des fibrés vectoriels homogènes au dessus de ces variétés. Dans la deuxième partie, on étudie quelques aspects de la géométrie équivariante des espaces projectifs et des grassmanniennes complexes du point de vue de l'existence des ''approximations floues''. En particulier, en utilisant les règles de branchement, on démontre ici de façon simple que chaque grassmannienne complexe admet une approximation par des ''variétés homogènes floues''. L'appendice A de notre étude est principalement un chapitre de rappels dans lequel on analyse le problème du calcul des spectres de certains opérateurs différentiels invariants sur des fibrés vectoriels homogènes. Dans l' appendice B, on calculees déterminants zeta-régularisés de l'opérateur de Dirac et de son carré sur les espaces projectifs complexes de dimensions impaires.

  • Titre traduit

    Invariant differntial operators on homogeneous spaces : branching rules and geometric and analytic applications


  • Résumé

    In the first part of this thesis, we study the branching rules from U(n+m) to U(n) x U(m), from SU(n+m) to S(U(n) x U(m)) and from SU(n+m) to SU(n) x SU(m). Then we give some applications of these rules to the computation of the spectra of certain invariant invariant differential operators on complex Grassmannians. More precisely, we determine the spectra of the Hodge-Laplacian, the Bochner-Laplacian and the Dirac operator on homogeneous vector bundles over these manifolds. In the second part, we study some aspects of the equivariant geometry of complex projective spaces and Grassmannians from the point of view of ''fuzzy approximations''. In particular, using the abovely mentioned branching rules, we easily derive that every complex Grassmannian can be approximated by ''fuzzy homogeneous manifolds''. The appendix A of this work is essentially devoted to analysing the problem of computing the spectra of certain invariant differential operators on homogeneous vector bundles. In the appendix B, we compute the zeta-regularized determinants of the Dirac operator and its square on odd-dimensional complex projective spaces.

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Informations

  • Détails : 102 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 101-102

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