Analyse en ondelettes M-bandes en arbre dual : application à la restauration d'images

par Caroline Chaux

Thèse de doctorat en Traitement du signal

Sous la direction de Jean-Christophe Pesquet.

Soutenue en 2006

à l'Université de Marne-la-Vallée .


  • Résumé

    Cette thèse porte sur les décompositions en ondelettesM-bandes en arbre dual ainsi que sur leur application à l’analyse et la restauration d’images. Ces décompositions permettent d’obtenir une analyse multi-échelles, directionnelle et locale des images. Elles s’inscrivent donc dans la perspective de travaux récents visant à mieux représenter les informations géométriques (textures, contours) et les préserver lors de traitements. Ce travail s’appuie sur les travaux antérieurs de N. Kingsbury et I. Selesnick portant sur la construction de décompositions en ondelettes formant des paires de Hilbert (approchées). Ces auteurs ont établi divers résultats concernant le cas dyadique et l’une de nos contributions a été de montrer qu’il était possible de généraliser leurs conclusions et de montrer de nouveaux résultats dans le casM-bandes. Les représentations proposées présentent de nombreux avantages notamment en termes d’invariance par translation de l’analyse et de sélectivité directionnelle. Nous avons établi les conditions que doivent satisfaire les bancs de filtres en arbre dual servant à l’analyse et à la synthèse des signaux traités. Nous avons également étudié les pré-traitements qu’il est nécessaire d’appliquer à des données discrètes. Ces décompositions introduisant typiquement une redondance d’un facteur 2 (dans le cas réel, et de 4 dans le cas complexe), elles constituent des trames à partir desquelles on peut calculer une reconstruction optimale. Ces nouvelles transformées ont finalement été généralisées aux cadres biorthogonal et complexe. Notre volonté d’appliquer ces outils d’analyse au débruitage de signaux nous a conduit à l’étude des propriétés statistiques des coefficients issus de la décompositionM-bandes en arbre dual d’un processus aléatoire stationnaire au sens large. Nous avons tout d’abord calculé les statistiques au second ordre de ces coefficients et nous avons étudié le rôle du post-traitement dans le calcul des corrélations. Quelques résultats asymptotiques concernant les corrélations d’un couple de coefficients primal/dual ont également été obtenus. Les inter-corrélations entre les ondelettes primale et duale jouant un rôle clé dans notre étude, nous en avons fourni des expressions exactes pour quelques familles d’ondelettes usuelles. Des simulations numériques nous ont aussi permis de valider nos résultats théoriques ainsi que d’évaluer la zone d’influence de la dépendance statistique induite. Pour démontrer l’efficacité de ces décompositions, nous avons été amenés à nous intéresser à deux types de problèmes : le débruitage et la déconvolution d’images. En ce qui concerne le débruitage, nous avons poursuivi deux buts principaux liés au cheminement de la thèse. Dans un premier temps, nous nous sommes attachés à montrer que la décomposition en arbre dual M-bandes apporte un gain significatif en terme de qualité, à la fois objective et subjective, par rapport à une décomposition en ondelettes classique, voire une décomposition dyadique en arbre dual. Dans un second temps, nous avons considéré le débruitage d’images multi-canaux pour lesquelles nous avons mis en place un estimateur statistique original reposant sur l’emploi du principe de Stein et permettant notamment de prendre en compte des voisinages quelconques (spatial, intercomposantes, inter-échelles. . . ). Les problèmes de déconvolution d’images ont été appréhendés dans le cadre de méthodes variationnelles, en mettant en place un algorithme itératif, utilisant des outils récemment développés en analyse convexe. L’approche proposée permet de résoudre des problèmes inverses associés à des modèles probabilistes variés et elle est applicable à l’analyse M-bandes en arbre dual ainsi qu’à tout autre type de représentation à l’aide d’une trame

  • Titre traduit

    Dual-treen M-band wavelet analysis : application to image restoration


  • Résumé

    We propose in this thesis a new type of wavelet transform, the dual-tree M-band wavelet decomposition, that has some unique geometrical features. This type of wavelet decomposition provides a local, multi-scale, directional analysis of images and can be applied to image restoration. There is a popular need for tools that improve the representation of geometric information like textures and edges, and yet preserve them during processing. The work that is presented here is an extension to the M-band case of the previously obtained results by N. Kingsbury and I. Selesnick for the dyadic case. The dual-tree decompositions are shown to be quasi shift-invariant and offer directional selectivity. Firstly, we address the conditions satisfied by the primal and dual filter banks for them to be used in the analysis and synthesis of the processed data. Secondly, we investigate the pre-processing stage that has to be applied to the discrete data. Due to the decomposition redundancy of the dual-tree decomposition (typically 2 in the real case and 4 in the complex case), several reconstructions are possible. An optimal pseudo-inverse based frame reconstruction is proposed in order to overcome this problem. These new transforms have also been generalized to the biorthogonal and complex cases. A study of the statistical properties of the M-band dual-tree coefficients of a widesense stationary random process was also necessary so that these analysis tools could be applied to image denoising. We first calculated the second order statistics of these coefficients and then investigated the influence of the pre-processing stage on correlation calculations. Asymptotic results on the correlations of a pair of primal/dual coefficients have been obtained. Cross-correlations between primal and dual wavelets play a major role in our study. We were able to propose closed-form expressions for some usual wavelet families and numerical simulations allowed us to validate our theoretical results as well as to evaluate the area of influence of the correlations. The effectiveness of our decompositions are demonstrated for image denoising and deconvolution applications. Concerning denoising problems, we are interested in examining two primary objectives: firstly, for mono-channel images, we show that M-band dual-tree wavelet decompositions bring a significant quality gain (both objective and subjective) in comparison with classical, as well as dyadic dual-tree wavelet decompositions. We then consider image denoising for the multichannel case, for which we build a new multivariate estimator based on Stein’s principle. The estimator that is proposed allows an arbitrary neighborhood like spatial, inter-component and inter-scale. The problem of deconvolution was addressed under the context of variational methods. An iterative algorithm based on recently developed convex analysis tools is proposed. The followed approach allows to solve inverse problems associated with numerous probabilistic models and is applicable in the dual-tree M-band wavelet framework as well as for any frame-based representation

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (194 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. [185]-194. Glossaire

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Est Marne-la-Vallée. Bibliothèque.
  • Consultable sur place dans l'établissement demandeur
  • Cote : 2006 CHA 0306
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.