Méthodes asymptotiques pour le calcul des champs électromagnétiques dans des milieux à couches minces : application aux cellules biologiques

par Clair Poignard

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Michelle Schatzman et de Laurent Nicolas.

Soutenue en 2006

à Lyon 1 .


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous présentons des méthodes asymptotiques mathématiquement justifiées permettant de connaître les champs électromagnétiques dans des milieux à couches minces hétérogènes. La motivation de ce travail est le calcul du champ électrique dans des cellules biologiques composées d'un cytoplasme conducteur entouré d'une fine membrane très isolante. Nous remplaçons la membrane, lorsque son épaisseur est infiniment petite, par des conditions de transmission ou des conditions aux limites appropriées et nous estimons l'erreur commise par ces approximations. Pour les basses fréquences, nous considérons l'équation quasistatique donnant le potentiel dont dérive le champ. A l'aide d'un calcul en géométrie circulaire nous obtenons les expressions explicites du potentiel et nous en déduisons les asymptotiques du champ électrique, en fonction de l'épaisseur de la couche mince, avec des estimations de l'erreur. Nous estimons ensuite la différence entre le champ réel et le champ statique. Puis nous généralisons notre développement asymptotique à une géométrie quelconque. La deuxième partie de cette thèse traite des moyennes fréquences : nous donnons le développement asymptotique de la solution de l'équation de Helmholtz lorsque l'épaisseur de la membrane tend vers 0. Tous ces précédents résultats sont illustrés par des calculs par éléments finis. Enfin, pour les hautes fréquences, nous construisons une condition d'impédance pseudodifférentielle permettant de concentrer l'effet de la couche sur son bord intérieur. Nous concluons cette thèse par un problème de diffraction à haute fréquence d'une onde incidente par un disque de petite taille. A l'aide d'une analyse pseudodifférentielle, nous bornons la norme de la trace du champ diffracté à distance fixe de l'inhomogénéité en fonction de la taille de l'objet et de l'onde incidente

  • Titre traduit

    Asymptotic methods in domains with thin layer to compute electromagnetic field in biological cells


  • Résumé

    This thesis deals with asymptotic methods for electromagnetism in heterogeneous domains with thin layer. The motivation is the computation of electromagnetic fields in biological cells, which are highly heterogeneous media. We replace the thin cytoplasmic membrane with an appropriate condition on the boundary of the cytoplasm and we estimate the error. Two equations are considered : the steady state voltage equation and Helmholtz equation. For the low frequency case, we suppose that Neumann condition is imposed on the exterior boundary of the cell. We build approximated boundary condition, which is valid for an insulating (even perfectly insulating) thin membrane. For Helmholtz equation, we suppose that the cell is embedded in an ambiant medium and we build transmission conditions equivalent to the thin membrane. All these results are proved and numerically computed. For the high-frequency assumption (the frequency tends to infinity), we build generalized impedance condition using pseudo-differential approach equivalent to the membrane. We conclude this thesis with a work with Michael Vogelius on the high frequency scattering by a small circular inhomogeneity

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Informations

  • Détails : 1 vol. (204 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 201-204

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Claude Bernard (Villeurbanne, Rhône). Service commun de la documentation. BU Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : T50/210/2006/222bis
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