Solutions formelles d'équations aux dérivées partielles

Formal solutions of partial differential equations

• Auteur / Autrice : Nicolas Le Roux
• Direction : Moulay Abdelfattah Barkatou, Evelyne Hubert
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et ses applications
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Limoges
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Limoges. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Pfaff, Équations de

Systèmes intégrables

Développements asymptotiques

Newton, Méthode de

Algèbre différentielle

Équations aux dérivées partielles

Calcul formel

Résumé

Dans ce travail, nous construisons des algorithmes de calcul de solutions formelles de systèmes d'équations aux dérivées partielles (EDP). La thèse se divise en deux parties. Dans une première partie, nous proposons une nouvelle méthode du type Newton pour le calcul en un point régulier des séries formelles solutions d'une famille de systèmes d'EDP non linéaires qui a été définie par F. Boulier et ses collaborateurs. Ces systèmes apparaissent dans les algorithmes d'élimination différentielle. Cette méthode de Newton est une alternative à la méthode par dérivation-évaluation de F. Boulier et ses collaborateurs. Nous faisons une première ébauche d'étude de complexité entre la méthode de Newton et la méthode par dérivation-evaluation en nous restreignant aux équations différentielles. Nous proposons de plus une version modulaire de la méthode de Newton dans le cas d'une équation différentielle du premier ordre, pour tenir compte de l'explosion des coefficients de la série à calculer. Dans une seconde partie, nous étudions les systèmes de Pfaff complètement intégrables à croisements normaux en l'origine. Tout d'abord, nous proposons deux méthodes de calcul des solutions à l'origine pour les systèmes de Pfaff dits de première espèce basées sur les travaux de R. Gérard et A. H. M. Levelt et T. Takano et M. Yoshida. Nous donnons de plus une nouvelle démonstration constructive du théorème de Gérard et Levelt sous une hypothèse de généricité qui permet de calculer les solutions d'un système de Pfaff de première espèce vérifiant cette hypothèse. Puis, nous étudions le problème de la réduction de rang d'un système de Pfaff de seconde espèce, problème lié étroitement au calcul de ses solutions. Nous rappelons d'abord deux algorithmes classiques de réduction de rang d'un système différentiel linéaire d'ordre 1 : les algorithmes de Moser et de Levelt. Nous mettons alors en évidence la dualité entre les versions descendantes et ascendantes de l'algorithme de Levelt, propriété essentielle dans la suite de notre travail. Nous en profitons pour donner la complexité en opérations arithmétiques des algorithmes de Moser et de Levelt. La dualité nous permet de caractériser la régularité d'un système de Pfaff de seconde espèce en terme de stationnarité d'une suite décroissante de réseaux : ce critère est la version duale du critère de A. Van den Essen. Grâce à cette caractérisation, nous obtenons un algorithme de réduction de rang des systèmes de Pfaff de seconde espèce dans le cas de deux variables, en adaptant la version descendante de l'algorithme de Levelt.

In this thesis, we build algorithms for computing formal solutions of systems of nonlinear partial differential equations (PDE). It is divided in two parts. In a first part, we give a new method of Newton type for computing formal power series solutions at a regular point for a large class of non linear systems of PDE introduced by F. Boulier and al. These systems appear when applying differential elimination tools. The Newton method given here is an alternative to the method by derivation-evaluation proposed by F. Boulier and al. We sketch a first comparison between the two methods by means of complexity, restricting ourself to the case of a first order ODE. Furthermore, we give a modular Newton method in the case of a first order ODE in order to take coefficients growth into account. In a second part, we are studying completely integrable Pfaffian systems with normal crossing at the origin. First, we give two methods for computing solutions of Pfaffian systems of the first kind at the origin. The two methods are based on works by R. Gérard and A. H. M. Levelt and T. Takano and M. Yoshida. Furthermore we give a constructive proof of a theorem By R. Gérard and A. H. M. Levelt under a generic asumption. This proof gives a method for computing solutions of a Pfaffian system of first kind satisfying this asumption. Next, we give an answer to the rank reduction problem for Pfaffian systems of the second kind and give a rank reduction algorithm in the two variables case. This problem is linked with the computation of its solutions. We recall well known algorithms for rank reduction of linear ordinary differential systems : Moser algorithm and Levelt algorithm. We show a duality property between increasing and decreasing versions of Levelt algorithm. This property turns out to be very important. Furthermore we study complexity between Moser algorithm and Levelt algorithm. Thanks to the duality property, we obtain a new criterium about regularity of Pfaffian system of the second kind in the case of n variables, n arbitrary. This can be viewed as the dual criterium of a criterium by A. Van den Essen. Then, we build a rank reduction algorithm for Pfaffian systems of the second kind in two variables by adapting the decreasing version of Levelt algorithm.