Modélisation du comportement vibratoire des structures par des méthodes énergétiques : formulation moyennée spatialement pour des systèmes unidimensionnels

par Cédric Devaux

Thèse de doctorat en Acoustique

Sous la direction de Jean-Claude Pascal.

Soutenue en 2006

à Le Mans .


  • Résumé

    Le travail présenté s'attache à analyser les caractéristiques des grandeurs énergétiques issues de la solution de l'équation d'onde classique, sans faire d'hypothèse réductrice a priori, afin de développer une formulation moyenne en temps et en espace permettant de traduire les transferts d'énergie dans les structures pour le domaine des moyennes fréquences. Dans un premier temps, le concept de superposition quadratique est présenté: si les variables linéaires telles que le déplacement associé à l'onde sont la somme de n composantes différentes, toute variable quadratique telle que l'intensité ou les densités d'énergie peut être présentée sous la forme de n²2 termes différents. Ceci est illustré notamment dans le cas bidimensionnel de la superposition de deux ondes planes. Dans un second temps, le cas unidimensionnel de deux ondes planes contre-propagatives est étudié car il fournit les variations des champs énergétiques à deux échelles bien distinctes. A petite échelle, les variations des champs énergétiques représentent la structure locale des interférences définies par un nombre d'onde purement réel. A grande échelle, les variations des champs énergétiques représentent les transferts énergétiques globaux dus à la dissipation et définies par un nombre d'onde purement imaginaire. La partie suivante est quant à elle consacrée aux vibrations de plaques. Différents types d'ondes sont considérés: ondes quasi-longitudinales, ondes de cisaillement et ondes de flexion. Dans les cas unidimensionnels (plaques semi-infinies), l'analyse pour les ondes quasi-longitudinales et les ondes de cisaillement s'avère similaire à celle présentée précédemment. En revanche le cas des ondes de flexion s'avère plus compliqué en raison de la présence de composantes évanescentes dans le champ de déplacement, lesquelles multiplient d'autant le nombre de composantes des variables énergétiques. Une formulation quadratique équivalente à celle en déplacement a néanmoins pu être obtenue pour les ondes de flexion unidimensionnelles. Enfin la dernière partie montre tout d'abord comment une formulation quadratique moyenne peut être développée dans le cas d'ondes planes unidimensionnelles, l'opération de moyennage permettant de s'affranchir des composantes à petite échelle spatiale des variables quadratiques pseudo-périodiques. Une équation différentielle est obtenue pour l'intensité complexe, les densités d'énergie pouvant être tirées de cette variable. Les conditions limites énergétiques tenant compte des composantes active et réactive de l'intensité sont ensuite calculées, pour des jonctions passives ou actives. Les cas de jonctions passives font intervenir des conditions mixtes analogues aux conditions d'impédance d'une formulation en déplacement. Le cas des jonctions actives fait quant à lui intervenir non seulement des impédances mais également la densité de puissance injectée dans la discontinuité d'intensité moyennée. Cette formulation quadratique moyenne peut alors être appliquée au domaine des moyennes fréquences.

  • Titre traduit

    Modelling the vibratory behaviour of structures with energy methods : a space-averaged formulation for one-dimensional systems


  • Résumé

    This work analyses the characteristics of energy quantities obtained from the classical wave equation, without any extra assumption, in order to develop a time- and space-averaged formulation which can model power tranfers in structures for a mid-frequency range. First the concept of quadratic superposition is presented: if linear variables like the displacement field hold n different components, every quadratic variable like intensity or energy densities hold n² different terms. This is illustrated for the 2D case of two plane waves interfering. Secondly the 1D case of two counter-propagative plane waves is studied as it gives spatial variations of energy fields at two different length scales. Small scale variations of energy fields stand for the local structure of interferences defined by a purely real wave number, whereas large scale variations match with global energy transfers due to the dissipation and defined by a purely imaginary wave number. The next part deals with plate vibrations. Different types of waves are considered: quasi-longitudinal, shear horizontal and bending waves. In 1D cases (semi-infinite plates), the analysis for quasi-longitudinal and shear horizontal waves is similar with the previously presented one. The case of bending waves is more complicated due to the presence of evanescent components in the displacement field, which multiplies the number of components in energy variables. Yet an equivalent quadratic formulation was obtained for 1D bending waves. The last part shows how it is possible to develop a space-averaged quadratic formulation for 1D plane waves, in which the averaging process removes small scale components of pseudo-periodic quadratic variables. A differential equation is obtained for the complex intensity and energy densities are derived from this variable. Next, boundary conditions accounting for both active and reactive intensities are computed either for passive or active junctions. Passive junctions involve mixed conditions which look like impedance conditions in a displacement formulation, whereas active junctions involve not only impedances but also the input power density in the discontinuity of the averaged intensity. Then this space-averaged quadratic formulation can be applied to mid-frequency vibrations.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (103 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 93-103

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  • Bibliothèque : Le Mans Université (Le Mans). Service commun de documentation.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : 2006LEMA1007
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